每日数学

2024-04-08 每日一题 No.061

题目已知二次函数 f ( x ) 满足 f ( f ( x ) - 1 ) = -2 f^{ 2 } ( x ) + 4 f ( x ) - 3，求 f ( x )。解析令 t = f ( x ) - 1，则 f ( x ) = t + 1。则 f ( t ) = -2 ( t + 1 )^

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题目求函数 f ( x ) = \ln{ ( \sin{ x } + \cos{ x } + \sin{ x } \cos{ x } ) } 的定义域和值域。解析令 \sin{ x } + \cos{ x } = \sqrt{ 2 } \sin{ \left ( x + \dfrac{ \ma

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题目 \triangle ABC 中，H 为垂心，且 4 \overrightarrow{ HA } + 5 \overrightarrow{ HB } + 7 \overrightarrow{ HC } = \boldsymbol{ 0 }，求 \sin{ A } 的值。解析由于 H 为垂心，

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题目对于集合 X 和函数 f : X \rightarrow X，定义 f 的 n 次迭代 f^{ [ n ] } 为：若 n = 1，则 f^{ [ 1 ] } = f。若 n > 1，则 f^{ [ n ] }

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题目已知 | \boldsymbol{ a } | = \sqrt{ 2 }, | \boldsymbol{ b } | = \sqrt{ 3 }，且满足 | \lambda \boldsymbol{ a } - 2 \boldsymbol{ b } | = 2 | 2 \boldsymbol{

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题目若 \tan{ \theta } = \dfrac{ 3 }{ 7 }，求下式的值： \dfrac{ \cos^{ 3 }{ \theta } + \sin{ \theta } }{ \cos{ \theta } - \sin{ \theta } } - \dfrac{ 2 }{ \cos^{

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题目求函数 f ( x ) = \sqrt{ 3 + 3 \cos{ x } } + \sqrt{ 1 - \cos{ x } } 的最大值和最小值。解析注意到 f ( x ) 的最大值和最小值其实就为 g ( x ) = \sqrt{ 3 + 3 x } + \sqrt{ 1 - x } 的

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题目在 \triangle ABC 中，O 为 \triangle ABC 的外心，且 5 \overrightarrow{ OA } + 6 \overrightarrow{ OB } + 7 \overrightarrow{ OC } = \boldsymbol{ 0 }，求 \cos{ A

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题目求 \sin{ \left ( x^{ 2 } + x + 1 \right ) } + \cos{ ( x - 1 ) } = 0 的解集。解析由和差化积可得： \sin{ \left ( x^{ 2 } + x + 1 \right ) } + \cos{ ( x - 1 ) } =

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题目有一个 3 \times 3 的网格，有一个人最开始位于左下角，他要向右上角走去。他每次走一步都会从上、下、左、右、左上、左下、右下七个方向中等概率的随机选择一个方向走（如果这个方向没有格子，那么他一定不会选择这个方向，例如在左上角他只会从右、下、右下三个方向中随机选择一个方向），且到达右上角

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