每日数学

2023-12-19 每日一题 No.013

题目设有一函数 f ( x ) 定义域为 [ 0, +\infty )，且 f ( x ) 在 [ 0, +\infty ) 上单调递增。且 \forall x \in [ 0, +\infty ), f \left ( f ( x ) - \sqrt{ 3 x } \right ) = 3。

每日一题

题目两正实数 x, y 满足 16 x^{ 2 } - x y + y^{ 2 } = 1，求 4 x + y 的最大值。请至少用四种方法解决本题。解析法一：基本不等式由均值不等式可得： \begin{aligned} 1 & = 16 x^{ 2 } - x y + y^{ 2 } \\

每日一题

题目有 2024 个有标号的球（即球与球之间是不同的）将要被红、绿、蓝、白四种颜色染色，每个球都独立等概率的随机被染成四种颜色之一，求恰好有奇数个球被染成红色、偶数个球被染成绿色、奇数个球被染成蓝色的概率。若是 2023 个球呢？若是 n 个球呢？解析法一：直觉分析对于 2024 个球来说

周末强化

题目已知函数 f ( x ) 定义域为 ( 0, 2 ) 且有： f ( x ) = \begin{cases} | \ln{ 2 x } |, & 0 < x < 1 \\ \ln{ 2 } + \ln{ ( 2 - x ) }, & 1 \leq x < 2 \end{cases} 有三实数

每日一题

题目对于正实数 x, y, z，求证： \dfrac{ 2 x + y + z }{ \sqrt{ y + z } } + \dfrac{ x + 2 y + z }{ \sqrt{ z + x } } + \dfrac{ x + y + 2 z }{ \sqrt{ x + y } } \geq

每日一题

题目 \forall x, y \in \mathbb{ R }，求证： 4^{ x } - 4^{ y } \leq \dfrac{ \left ( 2^{ x + 2 } - 2^{ y + 1 } - 2^{ y } \right )^{ 2 } }{ 7 } 解析引理：Aczel 不等式（

每日一题

题目对于实数 x, y 满足 x, y > 1，且有： x + 3^{ y } = 54 求 ( 3 x )^{ y + 1 } 的最大值，并指出此时 x 的值。解析令 z = \log_{ 3 }{ x }，则有： 3^{ y } + 3^{ z } = 54 所求即 3^{ ( y

每日一题

题目对于正数 a, b, c 满足 a^{ 3 } + b^{ 3 } + c^{ 3 } = \dfrac{ 99 }{ 8 }，求证： a^{ 7 } + \dfrac{ 1 }{ 16 } b^{ 7 } + \dfrac{ 16 }{ 81 } c^{ 7 } \geq \dfrac{ 9

每日一题

题目如图有一条无限长的传送带，传送带的速度 v_{ p } = 10 \mathrm{ m / s }，沿斜面向下。在传送带底部轻放一滑块（可视为质点），滑块初速度为 v_{ 0 } = 20 \mathrm{ m / s }，沿斜面向上。当滑块在传送带上滑动且未在滑痕上时，动摩擦因数 \mu

周末强化

题目设 a, b, c 均为正实数，且 a + b + c > a b c。求证下式中必有至少两式成立： \begin{cases} \dfrac{ 9 }{ a } + \dfrac{ 6 }{ b } + \dfrac{ 5 }{ c } \geq \dfrac{ 19 }{ 2 } \\

每日一题