每日数学

2024-01-01 每日一题 No.022

题目对于集合 X 和函数 f : X \rightarrow X，定义 f 的 n 次迭代 f^{ [ n ] } 为：若 n = 1，则 f^{ [ 1 ] } = f。若 n > 1，则 f^{ [ n ] }

每日一题

题目有 2024 个有标号的球（即球与球之间是不同的）将要被红、绿、蓝、白四种颜色染色，每个球都独立等概率的随机被染成四种颜色之一，求恰好有奇数个球被染成红色、偶数个球被染成绿色、奇数个球被染成蓝色的概率。若是 2023 个球呢？若是 n 个球呢？解析法一：直觉分析对于 2024 个球来说

周末强化

题目设函数 f ( x ) = 3^{ x } + m ( x - 2 ) + n 在 [ 2, 4 ] 上存在零点，求 m^{ 2 } + n^{ 2 } 的最小值。解析设零点为 t，即 f ( t ) = 0，则 -3^{ t } = m ( t - 2 ) + n。由柯西不等式可得：

每日一题

题目若 x, y > 0，求下式的最小值： \dfrac{ \sqrt{ 6 } x + \sqrt{ 7 x^{ 2 } + 5 y^{ 2 } } }{ \sqrt{ 2 } x + \sqrt{ 3 } y } 解析设 \lambda \in [ -1, 1 ]，则有 \begin{ali

每日一题

题目有一枚质地不均匀的四面体骰子，四面分别印有 1, 2, 3, 4，记投掷完后朝下面的数字为该次投掷的结果。现在连续投掷两次该骰子，掷到的数和为 7 的概率等于和为 6 的概率等于差的绝对值为 2 的概率等于和为 2 的概率的 16 倍（若两次掷到的数分别为 a, b，则题意即 P ( a +

每日一题

题目给定一个 p \in ( 0, 1 )，并按下述规则生成一个 x。若 x 未被生成，则进行尝试，有 p 的概率成功，若成功则将 x 设为 1。若 x 未被生成，则进行尝试，有 p 的概率成功，若成功则将 x 设为

每日一题

题目设函数 f ( x ) 满足对任意非零实数 x 均有 f \left ( \dfrac{ 1 }{ x } \right ) = a f ( x ) - 2 x - 7，且 f ( 1 ) = 1。求 F ( x ) = f ( x )（x \in \{ x \mid x \neq 0, f

每日一题

题目给定函数 f ( x ) = \dfrac{ x^{ 2 } }{ 2 } + \dfrac{ 8 }{ x }，若函数 g ( x ) = f ( x ) - a（a \in \mathbb{ R }）有三个零点，为 x_{ 1 }, x_{ 2 }, x_{ 3 } 且 x_{ 1 } <

每日一题

题目求下式的值： \sqrt{ 2^{ 1 } \sqrt{ 2^{ 4 } \sqrt{ 2^{ 9 } \sqrt{ 2^{ 16 } \sqrt{ \ldots \sqrt{ 2^{ n^{ 2 } } \sqrt{ \ldots } } } } } } } 解析记所求值为 S，则有： S

每日一题

题目设有一集合 S = \{ ( a, b, c ) \mid a, b, c \in \mathbb{ N_{ + } } 且 a, b, c 为某三角形的三边长 \}。求： \sum\limits_{ ( a, b, c ) \in S }{ \dfrac{ 2^{ a } \cdot 3^

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