每日数学

2024-01-26 每日一题 No.031

题目求解函数方程： f ( x ) + 2 f \left ( \dfrac{ x - 1 }{ x + 1 } \right ) = x 解析令 u = \dfrac{ x - 1 }{ x + 1 }, \dfrac{ u - 1 }{ u + 1 } = -\dfrac{ 1 }{ x }

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题目甲乙轮流抛掷一枚质地均匀的硬币，若连续四次抛掷结果出现了”正正正反“则甲获胜，若出现了”正反反反“则乙获胜。求甲乙二人各自获胜的概率。解析设 S_{ A } 是甲获胜时的局面的构型之和，S_{ B } 是乙获胜时的局面的构型之和，N 为甲乙二人均不获胜的局面的构型之和。设正面记为 \mat

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题目设正实数 a, b, c 满足 a + b + c = \dfrac{ 4 }{ 3 }，求证： 7 ( a + b )^{ 2 } + 7 ( b + c )^{ 2 } + 7 ( c + a )^{ 2 } + 9 a b c \geq \dfrac{ 1408 }{ 81 } 解析因

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题目求函数 f : \mathbb{ R_{ + } } \to \mathbb{ R_{ + } }，使得 f \left ( x^{ 5 } \right ) - f \left ( x^{ 3 } \right ) = 1。解析构造数列 \left \{ x_{ n } \right \

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题目有 10 级台阶，每次会随机选择向上走 2 级台阶或向下走 1 级台阶（特别地，到达第 10 级台阶后不再走动，第 9 级台阶无法向上走，地面无法向下走），求期望多少步可以走到第 10 级台阶。解析设从第 n 级台阶走到第 10 级台阶的期望步数为

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题目某游乐场内有一个供人们游玩的游乐设施。如图所示，该设施由三大部分组成，分别为辅助秋千，长方形河道形游泳池与长方形海绵球海洋组成。其中辅助秋千为一长为 R 且不可伸长的细绳，其上端固定于固定装置上，下端绑上座位。河道形游泳池宽为 1.5 R，长足够长，游泳池一侧有海绵球海洋，长与宽均足够大，

周末强化

题目如图，AB 是 \odot O 的直径，\angle{ BAC } = 45 \degree，D 是半径 OA 上的一动点，DE \perp AB 交 \odot O 于点 E，交 AC 于点 F

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题目你要选择一组 ( a, b ) 满足以下条件： a + b \leq \dfrac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 } a - \sqrt{ 3 } b \leq \sqrt{ 3 } b - a \leq 1 不过你很懒，只会从 \{ ( a, b ) | a^2 + b^2 \leq 1

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题目这一次的英语考试变难了，原来的七选五现在变成了十选七，我们的英语学渣还是只会蒙题，不过他知道七个选项全都不同，所以他会随机的从合法的蒙法中选择一种来作为自己的答案，求他七道题全错的概率。解析令 a_{ n } 表示从 n + 3 道题选 n 道题全错的方案数，特别规定 a_{ 0 } =

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题目若 a, b, c 均为正实数且 2 b > 3 c, 4 c > 5 a，求下式的最小值： 1458 b^{ 5 } + \dfrac{ 1 }{ a ( 2 b - 3 c ) ( 4 c - 5 a ) } 解析由均值不等式可得： \begin{aligned} a ( 2 b - 3

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