标签：不等式 - 每日数学

2024-04-02 每日一题 No.057

题目已知 | \boldsymbol{ a } | = \sqrt{ 2 }, | \boldsymbol{ b } | = \sqrt{ 3 }，且满足 | \lambda \boldsymbol{ a } - 2 \boldsymbol{ b } | = 2 | 2 \boldsymbol{

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题目求函数 f ( x ) = \sqrt{ 3 + 3 \cos{ x } } + \sqrt{ 1 - \cos{ x } } 的最大值和最小值。解析注意到 f ( x ) 的最大值和最小值其实就为 g ( x ) = \sqrt{ 3 + 3 x } + \sqrt{ 1 - x } 的

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题目平面向量 \boldsymbol{ a }, \boldsymbol{ b } 满足 \boldsymbol{ a } \cdot \boldsymbol{ e } = 2, \boldsymbol{ b } \cdot \boldsymbol{ e } = -3（其中 \boldsymbol

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题目如图所示，在长方形 ABCD 中，有 AB = 2, AD = 4，M, N 分别为 BC, DC 边上的两点，满足 CM^{ 2 } \cdot CN = 1。若有 \overrightarrow{ AC } = x \overrightarrow{ AM } + y \overrighta

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题目若实数 x, y, z \geq 0 满足 x^{ 2 } + y^{ 2 } + z^{ 2 } = 1，求下式的最小值： \dfrac{ 5 - x }{ 5 - 2 x } + \dfrac{ 5 - y }{ 5 - 2 y } + \dfrac{ 5 - z }{ 5 - 2 z }

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题目若 a, b, c 是正实数，求下式的最小值： \dfrac{ a^{ 3 } + 2 }{ b + c } + \dfrac{ b^{ 3 } + 2 }{ c + a } + \dfrac{ c^{ 3 } + 2 }{ a + b } 解析引理：扩展权方和不等式对于 x_{ k },

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题目如图，在 \triangle ABC 中，N 为线段 AB 上一点，满足 \overrightarrow{ AN } = \alpha \overrightarrow{ NB }，M 为 BC 上一点，满足 \overrightarrow{ CM } = 2 \alpha^{ 3 } \ove

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题目设正实数 a, b, c, d 满足 a^{ 2 } + b^{ 2 } + c^{ 2 } + d^{ 2 } = 4，求下式的最小值： \dfrac{ a^{ 3 } }{ 2 } + \dfrac{ b^{ 3 } }{ 4 } + \dfrac{ c^{ 3 } }{ 5 } + \d

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题目设正实数 a, b, c 满足 a + b + c = \dfrac{ 4 }{ 3 }，求证： 7 ( a + b )^{ 2 } + 7 ( b + c )^{ 2 } + 7 ( c + a )^{ 2 } + 9 a b c \geq \dfrac{ 1408 }{ 81 } 解析因

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题目如图，AB 是 \odot O 的直径，\angle{ BAC } = 45 \degree，D 是半径 OA 上的一动点，DE \perp AB 交 \odot O 于点 E，交 AC 于点 F

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