题目
有一个 3 \times 3 的网格，有一个人最开始位于左下角，他要向右上角走去。他每次走一步都会从上、下、左、右、左上、左下、右下七个方向中等概率的随机选择一个方向走（如果这个方向没有格子，那么他一定不会选择这个方向，例如在左上角他只会从右、下、右下三个方向中随机选择一个方向），且到达右上角后就停止不再走动，求他期望走多少步可以走到右上角。
解析
设九个格子走到右上角的期望步数分别为 a_{ 1, 1 }, a_{ 1, 2 }, a_{ 1, 3 }, a_{ 2, 1 }, a_{ 2, 2 }, a_{ 2, 3 }, a_{ 3, 1 }, a_{ 3, 2 }, a_{ 3, 3 }，其中 a_{ 1, 1 } 代表左下角，a_{ 3, 3 } 代表右上角，则有：
\begin{cases}
a_{ 1, 1 } = 1 + \dfrac{ a_{ 1, 2 } + a_{ 2, 1 } }{ 2 } \\
a_{ 1, 2 } = 1 + \dfrac{ a_{ 1, 1 } + a_{ 1, 3 } + a_{ 2, 1 } + a_{ 2, 2 } }{ 4 } \\
a_{ 1, 3 } = 1 + \dfrac{ a_{ 1, 2 } + a_{ 2, 2 } + a_{ 2, 3 } }{ 3 } \\
a_{ 2, 1 } = 1 + \dfrac{ a_{ 1, 1 } + a_{ 1, 2 } + a_{ 2, 2 } + a_{ 3, 1 } }{ 4 } \\
a_{ 2, 2 } = 1 + \dfrac{ a_{ 1, 1 } + a_{ 1, 2 } + a_{ 1, 3 } + a_{ 2, 1 } + a_{ 2, 3 } + a_{ 3, 1 } + a_{ 3, 2 } }{ 7 } \\
a_{ 2, 3 } = 1 + \dfrac{ a_{ 1, 2 } + a_{ 1, 3 } + a_{ 2, 2 } + a_{ 3, 2 } + a_{ 3, 3 } }{ 5 } \\
a_{ 3, 1 } = 1 + \dfrac{ a_{ 2, 1 } + a_{ 2, 2 } + a_{ 3, 2 } }{ 3 } \\
a_{ 3, 2 } = 1 + \dfrac{ a_{ 2, 1 } + a_{ 2, 2 } + a_{ 2, 3 } + a_{ 3, 1 } + a_{ 3, 3 } }{ 5 } \\
a_{ 3, 3 } = 0
\end{cases}
可以解得 a_{ 1, 1 } = \dfrac{ 633 }{ 17 }，且 a_{ 1, 2 } = a_{ 2, 1 } = \dfrac{ 616 }{ 17 }, a_{ 1, 3 } = a_{ 3, 1 } = \dfrac{ 569 }{ 17 }, a_{ 2, 2 } = 34, a_{ 2, 3 } = a_{ 3, 2 } = \dfrac{ 462 }{ 17 }。
by CXY。