题目
已知 | \boldsymbol{ a } | = \sqrt{ 2 }, | \boldsymbol{ b } | = \sqrt{ 3 }，且满足 | \lambda \boldsymbol{ a } - 2 \boldsymbol{ b } | = 2 | 2 \boldsymbol{ a } + \lambda \boldsymbol{ b } |（\lambda \in \mathbb{ R_{ + } }），求 \boldsymbol{ a } \cdot \boldsymbol{ b } 的最大值。
解析
由于 | \lambda \boldsymbol{ a } - 2 \boldsymbol{ b } | = 2 | 2 \boldsymbol{ a } + \lambda \boldsymbol{ b } |，故有 | \lambda \boldsymbol{ a } - 2 \boldsymbol{ b } |^{ 2 } = 4 | 2 \boldsymbol{ a } + \lambda \boldsymbol{ b } |^{ 2 }，即：
\lambda^{ 2 } \boldsymbol{ a }^{ 2 } - 4 \lambda \boldsymbol{ a } \cdot \boldsymbol{ b } + 4 \boldsymbol{ b }^{ 2 } = 16 \boldsymbol{ a }^{ 2 } + 16 \lambda \boldsymbol{ a } \cdot \boldsymbol{ b } + 4 \lambda^{ 2 } \boldsymbol{ b }^{ 2 }
故有 \boldsymbol{ a } \cdot \boldsymbol{ b } = -\dfrac{ \lambda^{ 2 } + 2 }{ 2 \lambda } \leq -2 \sqrt{ \dfrac{ 1 }{ 2 } } = -\sqrt{ 2 }。
by CXY。