每日数学

2024-03-18 每日一题 No.051

题目在 \triangle ABC 中，a = \sqrt{ 11 }, b - c = \sqrt{ 7 }，且 \triangle ABC 的面积为 \sqrt{ 5 }，求 \overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AC }。解析因为 S_

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题目在边长均为 1 的正 n 边形中，n 个顶点分别为 A_{ 1 }, A_{ 2 }, \ldots, A_{ n }，P 为该 n 边形内一点（含边界），求 \left | \sum\limits_{ i = 1 }^{ n }{ \overrightarrow{ PA_{ i } } }

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题目一个袋子里有 4 个红球、5 个绿球、6 个篮球和 7 个白球，这些球除了颜色外没有区别，现在一个人从袋子里随机拿球，求对于每一个颜色，该颜色先被拿完的概率。解析考虑红球先被拿完的概率。将拿球的顺序记为一个颜色序列，则这个序列是随机排列的，那么红球先被拿完的方案即为在该序列中最后一个红球的

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题目已知 O 是 \triangle ABC 的外心，且 \overrightarrow{ AO } = 4 \overrightarrow{ AB } + 11 \overrightarrow{ AC }，求 \dfrac{ | AB | }{ | AC | }。解析对原式进行变形可得： \

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题目设 H 是 \triangle ABC 的垂心，且 5 \overrightarrow{ HA } + 7 \overrightarrow{ HB } + 11 \overrightarrow{ HC } = \boldsymbol{ 0 }，求 \cos{ \angle BHC } 的值。

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题目求函数 f : \mathbb{ R_{ + } } \to \mathbb{ R_{ + } }，使得： f \left ( x f ( x ) + y^{ 2 } \right ) = y f ( y ) + x^{ 2 } 解析由题可得： f \left ( f \left ( x f

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题目有一些同学参加考试，考试共有 15 道选择题，每道题有 3 个选项，若任意 3 名学生中都有至少一题的答案互不相同，求至多有多少同学参加考试。解析设 a_{ n } 为 n 道选择题，每道题 3 个选项，且任意 3 名学生中都有至少一题的答案互不相同时，至多有多少同学参加考试。根据抽屉原

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题目若 \triangle ABC 三边长分别为 BC = a, AC = b, BC = c，G, H, I, O 分别为 \triangle ABC 的重心、垂心、内心、外心。试用 \overrightarrow{ AB }, \overrightarrow{ AC } 分别表示 \overr

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题目平面向量 \boldsymbol{ a }, \boldsymbol{ b } 满足 \boldsymbol{ a } \cdot \boldsymbol{ e } = 2, \boldsymbol{ b } \cdot \boldsymbol{ e } = -3（其中 \boldsymbol

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题目如图所示，在长方形 ABCD 中，有 AB = 2, AD = 4，M, N 分别为 BC, DC 边上的两点，满足 CM^{ 2 } \cdot CN = 1。若有 \overrightarrow{ AC } = x \overrightarrow{ AM } + y \overrighta

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