题目
对于集合 X 和函数 f : X \rightarrow X，定义 f 的 n 次迭代 f^{ [ n ] } 为：
- 若 n = 1，则 f^{ [ 1 ] } = f。
- 若 n > 1，则 f^{ [ n ] } = f \circ f^{ [ n - 1 ] }。
其中 f \circ g 表示函数复合，即 ( f \circ g ) ( x ) = f ( g ( x ) )。
若 f ( x ) = \dfrac{ 2 x }{ 3 x + 5 }，求 f^{ [ n ] } ( x )。
解析
不妨设 g ( x ) = \dfrac{ x }{ a + b x }，考虑 g^{ [ n ] } ( x ) 的形式。
注意到 g^{ [ 2 ] } ( x ) = \dfrac{ x }{ a^{ 2 } + b x ( 1 + a ) } 且 g^{ [ 3 ] } ( x ) = \dfrac{ x }{ a^{ 3 } + b x \left ( 1 + a + a^{ 2 } \right ) }，不难发现有 g^{ [ n ] } ( x ) = \dfrac{ x }{ a^{ n } + b x \cdot \dfrac{ a^{ n } - 1 }{ a - 1 } }，由数学归纳法易证。
故取 a = \dfrac{ 5 }{ 2 }, b = \dfrac{ 3 }{ 2 }，此时即有 g ( x ) = \dfrac{ 2 x }{ 5 + 3 x } = f ( x )。
故有 f^{ [ n ] } ( x ) = \dfrac{ x }{ \left ( \dfrac{ 5 }{ 2 } \right )^{ n } ( x + 1 ) - x }。
by CXY。