题目

求 \sin{ \left ( x^{ 2 } + x + 1 \right ) } + \cos{ ( x - 1 ) } = 0 的解集。

解析

由和差化积可得：

\sin{ \left ( x^{ 2 } + x + 1 \right ) } + \cos{ ( x - 1 ) } = 2 \sin{ \left ( \dfrac{ x^{ 2 } }{ 2 } + 1 + \dfrac{ \mathrm{ \pi } }{ 4 } \right ) } \sin{ \left ( \dfrac{ x^{ 2 } }{ 2 } + x + \dfrac{ \mathrm{ \pi } }{ 4 } \right ) }

故当 \sin{ \left ( \dfrac{ x^{ 2 } }{ 2 } + 1 + \dfrac{ \mathrm{ \pi } }{ 4 } \right ) } = 0 或 \sin{ \left ( \dfrac{ x^{ 2 } }{ 2 } + x + \dfrac{ \mathrm{ \pi } }{ 4 } \right ) } = 0 时的 x 为原方程的解。

故有 \dfrac{ x^{ 2 } }{ 2 } + 1 + \dfrac{ \mathrm{ \pi } }{ 4 } = k \mathrm{ \pi } 或 \dfrac{ x^{ 2 } }{ 2 } + x + \dfrac{ \mathrm{ \pi } }{ 4 } = k\mathrm{ \pi }，故可以解得：

x \in \left \{ x \mid x = \pm \sqrt{ \dfrac{ ( 4 k - 1 ) \mathrm{ \pi } - 4 }{ 2 } }, k \in \mathbb{ Z } \right \}

或：

x \in \left \{ x \mid x = -1 \pm \sqrt{ \dfrac{ ( 4 k - 1 ) \mathrm{ \pi } + 2 }{ 2 } }, k \in \mathbb{ Z } \right \}

综上，原方程解集为：

\left \{ x \mid x = \pm \sqrt{ \dfrac{ ( 4 k - 1 ) \mathrm{ \pi } - 4 }{ 2 } }, k \in \mathbb{ Z } \right \} \cup \left \{ x \mid x = -1 \pm \sqrt{ \dfrac{ ( 4 k - 1 ) \mathrm{ \pi } + 2 }{ 2 } }, k \in \mathbb{ Z } \right \}

by CXY。