标签：函数 - 每日数学

2024-04-08 每日一题 No.061

题目已知二次函数 f ( x ) 满足 f ( f ( x ) - 1 ) = -2 f^{ 2 } ( x ) + 4 f ( x ) - 3，求 f ( x )。解析令 t = f ( x ) - 1，则 f ( x ) = t + 1。则 f ( t ) = -2 ( t + 1 )^

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题目对于集合 X 和函数 f : X \rightarrow X，定义 f 的 n 次迭代 f^{ [ n ] } 为：若 n = 1，则 f^{ [ 1 ] } = f。若 n > 1，则 f^{ [ n ] }

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题目求函数 f ( x ) = \sqrt{ 3 + 3 \cos{ x } } + \sqrt{ 1 - \cos{ x } } 的最大值和最小值。解析注意到 f ( x ) 的最大值和最小值其实就为 g ( x ) = \sqrt{ 3 + 3 x } + \sqrt{ 1 - x } 的

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题目求函数 f : \mathbb{ R_{ + } } \to \mathbb{ R_{ + } }，使得： f \left ( x f ( x ) + y^{ 2 } \right ) = y f ( y ) + x^{ 2 } 解析由题可得： f \left ( f \left ( x f

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题目二次函数 f ( x ) 满足： f ( f ( x ) ) = -8 x^{ 4 } + 40 x^{ 3 } - 36 x^{ 2 } - 35 x 求 \sqrt{ f ( x ) } 的值域。解析设 f ( x ) = a x^{ 2 } + b x + c，则有： f ( f (

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题目求解函数方程： f ( x ) + 2 f \left ( \dfrac{ x - 1 }{ x + 1 } \right ) = x 解析令 u = \dfrac{ x - 1 }{ x + 1 }, \dfrac{ u - 1 }{ u + 1 } = -\dfrac{ 1 }{ x }

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题目求函数 f : \mathbb{ R_{ + } } \to \mathbb{ R_{ + } }，使得 f \left ( x^{ 5 } \right ) - f \left ( x^{ 3 } \right ) = 1。解析构造数列 \left \{ x_{ n } \right \

每日一题

题目对于集合 X 和函数 f : X \rightarrow X，定义 f 的 n 次迭代 f^{ [ n ] } 为：若 n = 1，则 f^{ [ 1 ] } = f。若 n > 1，则 f^{ [ n ] }

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题目设函数 f ( x ) = 3^{ x } + m ( x - 2 ) + n 在 [ 2, 4 ] 上存在零点，求 m^{ 2 } + n^{ 2 } 的最小值。解析设零点为 t，即 f ( t ) = 0，则 -3^{ t } = m ( t - 2 ) + n。由柯西不等式可得：

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题目设函数 f ( x ) 满足对任意非零实数 x 均有 f \left ( \dfrac{ 1 }{ x } \right ) = a f ( x ) - 2 x - 7，且 f ( 1 ) = 1。求 F ( x ) = f ( x )（x \in \{ x \mid x \neq 0, f

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