题目

已知 \sin{ \alpha } + \sin{ \beta } = \dfrac{ 5 \sqrt{ 5 } }{ 26 }, \cos{ \alpha } + \cos{ \beta } = \dfrac{ 12 \sqrt{ 5 } }{ 26 }，求 \tan{ \alpha } + \tan{ \beta } 的值。

解析

因为 \sin{ \alpha } + \sin{ \beta } = 2 \sin{ \dfrac{ \alpha + \beta }{ 2 } } \cos{ \dfrac{ \alpha - \beta }{ 2 } } 且 \cos{ \alpha } + \cos{ \beta } = 2 \cos{ \dfrac{ \alpha + \beta }{ 2 } } \cos{ \dfrac{ \alpha - \beta }{ 2 } }，所以有：

\tan{ \dfrac{ \alpha + \beta }{ 2 } } = \dfrac{ \sin{ \alpha } + \sin{ \beta } }{ \cos{ \alpha } + \cos{ \beta } } = \dfrac{ 5 }{ 12 }

即有 \sin{ \dfrac{ \alpha + \beta }{ 2 } } = \dfrac{ 5 }{ 13 }, \cos{ \dfrac{ \alpha + \beta }{ 2 } } = \dfrac{ 12 }{ 13 } 或 \sin{ \dfrac{ \alpha + \beta }{ 2 } } = -\dfrac{ 5 }{ 13 }, \cos{ \dfrac{ \alpha + \beta }{ 2 } } = -\dfrac{ 12 }{ 13 }，先考虑均为正数的情况。

则 \cos{ \dfrac{ \alpha - \beta }{ 2 } } = \dfrac{ \sqrt{ 5 } }{ 4 }，容易发现有 \sin{ \dfrac{ \alpha - \beta }{ 2 } } > 0，故 \sin{ \dfrac{ \alpha - \beta }{ 2 } } = \dfrac{ \sqrt{ 11 } }{ 4 }。

则有：

\sin{ ( \alpha + \beta ) } = 2 \sin{ \dfrac{ \alpha + \beta }{ 2 } } \cos{ \dfrac{ \alpha + \beta }{ 2 } } = \dfrac{ 120 }{ 169 }

同理，有 \sin{ ( \alpha - \beta ) } = \dfrac{ \sqrt{ 55 } }{ 8 }, \cos{ ( \alpha + \beta ) } = \dfrac{ 119 }{ 169 }, \cos{ ( \alpha - \beta ) } = -\dfrac{ 3 }{ 8 }。

故有：

\begin{aligned} \tan{ \alpha } + \tan{ \beta } & = \dfrac{ \sin{ \alpha } }{ \cos{ \alpha } } + \dfrac{ \sin{ \beta } }{ \cos{ \beta } } \\ & = \dfrac{ \sin{ \alpha } \cos{ \beta } + \sin{ \beta } \cos{ \alpha } }{ \cos{ \alpha } \cos{ \beta } } \\ & = \dfrac{ 2 \sin{ ( \alpha + \beta ) } }{ \cos{ ( \alpha + \beta ) } + \cos{ ( \alpha - \beta ) } } \\ & = \dfrac{ 2 \cdot \dfrac{ 120 }{ 169 } }{ \dfrac{ 119 }{ 169 } - \dfrac{ 3 }{ 8 } } \\ & = \dfrac{ 384 }{ 89 } \end{aligned}

负数的情况同理可得 \tan{ \alpha } + \tan{ \beta } = \dfrac{ 384 }{ 89 }。

故 \tan{ \alpha } + \tan{ \beta } = \dfrac{ 384 }{ 89 }。

by CXY。