标签：概率 - 每日数学

2024-05-10 每日一题 No.070

题目集合 A = \{ 1, 2, \ldots, 200 \}，若集合 S 是 A 的子集且满足 | S | = 4，求 S 中元素从小到大排列后成等比数列的概率。解析不妨 S = \{ a, q a, q^{ 2 } a, q^{ 3 } a \}，其中 a 为首项，q 为公比。

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题目有一个 3 \times 3 的网格，有一个人最开始位于左下角，他要向右上角走去。他每次走一步都会从上、下、左、右、左上、左下、右下七个方向中等概率的随机选择一个方向走（如果这个方向没有格子，那么他一定不会选择这个方向，例如在左上角他只会从右、下、右下三个方向中随机选择一个方向），且到达右上角

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题目一个袋子里有 4 个红球、5 个绿球、6 个篮球和 7 个白球，这些球除了颜色外没有区别，现在一个人从袋子里随机拿球，求对于每一个颜色，该颜色先被拿完的概率。解析考虑红球先被拿完的概率。将拿球的顺序记为一个颜色序列，则这个序列是随机排列的，那么红球先被拿完的方案即为在该序列中最后一个红球的

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题目对 3 \times 2024 的方格图用红、绿、蓝三种颜色进行染色，每个格子都等概率的是三种颜色之一，求任意两个相邻格子颜色都不相同的概率（可用指数形式表示）。解析设 a_{ n } 表示 3 \times n 的方格图用红、绿、蓝三种颜色进行染色，任意两个相邻格子颜色都不相同的方案数。

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题目若 ( w, x, y, z ) 为方程 w + x + y + z = 100 的正整数解，求其中 w \leq x \leq y \leq z 的概率。解析由插板法可得方程 w + x + y + z = 100 的所有正整数解 ( w, x, y, z ) 共有 \binom{ 99

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题目有一枚均匀的硬币（即抛出正反面的概率相同），反复抛该硬币直至连续四次抛掷出现“正反反正”局面，求期望抛多少次硬币。解析设 a_{ 0 } 是从还没开始投到停止的期望次数，a_{ 1 } 是从“正”局面到停止的期望次数，a_{ 2 } 是从“正反”局面到停止的期望次数，a_{ 3 } 是从“

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题目甲乙轮流抛掷一枚质地均匀的硬币，若连续四次抛掷结果出现了”正正正反“则甲获胜，若出现了”正反反反“则乙获胜。求甲乙二人各自获胜的概率。解析设 S_{ A } 是甲获胜时的局面的构型之和，S_{ B } 是乙获胜时的局面的构型之和，N 为甲乙二人均不获胜的局面的构型之和。设正面记为 \mat

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题目有 10 级台阶，每次会随机选择向上走 2 级台阶或向下走 1 级台阶（特别地，到达第 10 级台阶后不再走动，第 9 级台阶无法向上走，地面无法向下走），求期望多少步可以走到第 10 级台阶。解析设从第 n 级台阶走到第 10 级台阶的期望步数为

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题目你要选择一组 ( a, b ) 满足以下条件： a + b \leq \dfrac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 } a - \sqrt{ 3 } b \leq \sqrt{ 3 } b - a \leq 1 不过你很懒，只会从 \{ ( a, b ) | a^2 + b^2 \leq 1

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题目这一次的英语考试变难了，原来的七选五现在变成了十选七，我们的英语学渣还是只会蒙题，不过他知道七个选项全都不同，所以他会随机的从合法的蒙法中选择一种来作为自己的答案，求他七道题全错的概率。解析令 a_{ n } 表示从 n + 3 道题选 n 道题全错的方案数，特别规定 a_{ 0 } =

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