题目
\triangle ABC 中，H 为垂心，且 4 \overrightarrow{ HA } + 5 \overrightarrow{ HB } + 7 \overrightarrow{ HC } = \boldsymbol{ 0 }，求 \sin{ A } 的值。
解析
由于 H 为垂心，故有 \tan{ A } \cdot \overrightarrow{ HA } + \tan{ B }\cdot \overrightarrow{ HB } + \tan{ C } \cdot \overrightarrow{ HC } = \boldsymbol{ 0 }。
故有 \dfrac{ \tan{ A } }{ \tan{ B } } = \dfrac{ 4 }{ 5 }, \dfrac{ \tan{ B } }{ \tan{ C } } = \dfrac{ 5 }{ 7 }。
而又由于 \tan{ A } + \tan{ B } + \tan{ C } = \tan{ A } \tan{ B } \tan{ C }，故可以解得 \tan^{ 2 }{ A } = \dfrac{ 64 }{ 35 }。
故 \dfrac{ \sin^{ 2 }{ A } }{ 1 - \sin^{ 2 }{ A } } = \dfrac{ 64 }{ 35 }，即 \sin^{ 2 }{ A } = \dfrac{ 64 }{ 99 }，即 \sin{ A } = \dfrac{ 8 \sqrt{ 11 } }{ 33 }。
by CXY。