题目

求函数 f ( x ) = \ln{ ( \sin{ x } + \cos{ x } + \sin{ x } \cos{ x } ) } 的定义域和值域。

解析

令 \sin{ x } + \cos{ x } = \sqrt{ 2 } \sin{ \left ( x + \dfrac{ \mathrm{ \pi } }{ 4 } \right ) } = t，则 \sin{ x } + \cos{ x } + \sin{ x } \cos{ x } = t + \dfrac{ t^{ 2 } - 1 }{ 2 }。

由 t + \dfrac{ t^{ 2 } - 1 }{ 2 } = 0，故可以解得 t = -1 + \sqrt{ 2 }（舍另一根），故 f ( x ) 在 [ -\mathrm{ \pi }, \mathrm{ \pi } ] 上的定义域即为 \left ( \arcsin{ \left ( 1 - \dfrac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 } \right ) - \dfrac{ \mathrm{ \pi } }{ 4 }, \dfrac{ 3 \mathrm{ \pi } }{ 4 } - \arcsin{ \left ( 1 - \dfrac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 } \right ) } } \right )，故 f ( x ) 定义域为：

\left ( 2 k \mathrm{ \pi } + \arcsin{ \left ( 1 - \dfrac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 } \right ) - \dfrac{ \mathrm{ \pi } }{ 4 }, 2 k \mathrm{ \pi } + \dfrac{ 3 \mathrm{ \pi } }{ 4 } - \arcsin{ \left ( 1 - \dfrac{ \sqrt{ 2 } }{ 2 } \right ) } } \right )

其中 k \in \mathbb{ Z }。

由于 t \in \left ( \sqrt{ 2 } - 1, \sqrt{ 2 } \right ]，故 t + \dfrac{ t^{ 2 } - 1 }{ 2 } \in \left ( 0, \dfrac{ 1 }{ 2 } + \sqrt{ 2 } \right ]，故原函数值域为：

\left ( -\infty, \ln{ \left ( \dfrac{ 1 }{ 2 } + \sqrt{ 2 } \right ) } \right )

by CXY。