题目

在 \triangle ABC 中，O 为 \triangle ABC 的外心，且 5 \overrightarrow{ OA } + 6 \overrightarrow{ OB } + 7 \overrightarrow{ OC } = \boldsymbol{ 0 }，求 \cos{ A }。

解析

因为有 5 \overrightarrow{ OA } + 6 \overrightarrow{ OB } + 7 \overrightarrow{ OC } = \boldsymbol{ 0 }，故 6 \overrightarrow{ OB } + 7 \overrightarrow{ OC } = -5 \overrightarrow{ OA }，则有：

\left ( 6 \overrightarrow{ OB } + 7 \overrightarrow{ OC } \right )^{ 2 } = \left ( -5 \overrightarrow{ OA } \right )^{ 2 }

即：

36 \overrightarrow{ OB }^{ 2 } + 49 \overrightarrow{ OC }^{ 2 } + 84 \overrightarrow{ OB } \cdot \overrightarrow{ OC } = 25 \overrightarrow{ OA }^{ 2 }

由于 \overrightarrow{ OA }^{ 2 } = \overrightarrow{ OB }^{ 2 } = \overrightarrow{ OC }^{ 2 } = k 且 \overrightarrow{ OB } \cdot \overrightarrow{ OC } = \left | \overrightarrow{ OB } \right | \cdot \left | \overrightarrow{ OC } \right | \cos{ \angle BOC } = k \cos{ \angle BOC } 且 \overrightarrow{ OB } \cdot \overrightarrow{ OC } = -\dfrac{ 5 }{ 6 } \overrightarrow{ OA }^{ 2 }，故有 \cos{ \angle BOC } = -\dfrac{ 5 }{ 7 }，故有：

\cos{ A } = \cos{ \dfrac{ \angle BOC }{ 2 } } = \sqrt{ \dfrac{ 1 + \cos{ \angle BOC } }{ 2 } } = \dfrac{ \sqrt{ 7 } }{ 7 }

by CXY。