题目
集合 A = \{ 1, 2, \ldots, 200 \}，若集合 S 是 A 的子集且满足 | S | = 4，求 S 中元素从小到大排列后成等比数列的概率。
解析
不妨 S = \{ a, q a, q^{ 2 } a, q^{ 3 } a \}，其中 a 为首项，q 为公比。
先考虑 q 为正整数的情况。因为有 q^{ 3 } a \leq 200，故有 q \leq \sqrt[ 3 ]{ 200 }，且 a \leq \dfrac{ 200 }{ q^{ 3 } }。则 q \leq 5，而 q = 1 显然不存在，故有 q \geq 2。则满足此类情况的共有：
\sum\limits_{ q = 2 }^{ 5 } \left \lfloor \dfrac{ 200 }{ q^{ 3 } } \right \rfloor = 25 + 7 + 3 + 1 = 36
当 q 不为整数时，不妨 q = \dfrac{ m }{ n }（m, n \in \mathbb{ N_{ + } } 且 m, n 互质且 m > n），则有 n \leq \sqrt[ 3 ]{ 200 }，且 n^3 \mid a。则 n \leq 5，而当 n = 5 时，有 q \geq \dfrac{ 6 }{ 5 }，那么此时满足条件的 a 不存在，故 n \leq 4。
若 n = 2，那么只有 m = 3 或 m = 5，满足此类情况的共有 7 + 1 = 8 个。
若 n = 3，那么只有 m = 4 或 m = 5，满足此类情况的共有 3 + 1 = 4 个。
若 n = 4，那么只有 m = 5，满足此类情况的共有 1 个。
综上，满足题意的 S 共有 36 + 8 + 4 + 1 = 49 个，故所求概率即为 \dfrac{ 49 }{ \binom{ 200 }{ 4 } } = \dfrac{ 49 }{ 64684950 }。
by CXY。