题目

求函数 f ( x ) = \sqrt{ 3 + 3 \cos{ x } } + \sqrt{ 1 - \cos{ x } } 的最大值和最小值。

解析

注意到 f ( x ) 的最大值和最小值其实就为 g ( x ) = \sqrt{ 3 + 3 x } + \sqrt{ 1 - x } 的最大值和最小值。

而由柯西不等式，g ( x )最大值为：

\sqrt{ 3 + 3 x } + \sqrt{ 1 - x } \leq 2 \sqrt{ \left ( \dfrac{ \left ( \sqrt{ 1 + x } \right )^{ 2 } + \left ( \sqrt{ 1 - x } \right )^{ 2 } }{ 2 } \right ) \left ( \dfrac{ \left ( \sqrt{ 3 } \right )^{ 2 } + 1^{ 2 } }{ 2 } \right ) } = 2 \sqrt{ 2 }

设 g ( x ) 最小值为 m，则 \sqrt{ 3 + 3 x } + \sqrt{ 1 - x } \geq m，则 4 + 2 x + 2 \sqrt{ 3 - 3 x^{ 2 } } \geq m^{ 2 }，移向平方可得当 m^{ 2 } - 4 - 2 x \geq 0 时有 12 - 12 x^{ 2 } \geq 4 x^{ 2 } + \left ( 16 - 4 m^{ 2 } \right ) x + \left ( m^{ 4 } - 8 m^{ 2 } + 16 \right )，则有：

h ( x ) = 16 x^{ 2 } + \left ( 16 - 4 m^{ 2 } \right ) x + ( m^{ 4 } - 8 m^{ 2 } + 4 ) \leq 0

对于 \forall x \in \left [ -1, \dfrac{ m^{ 2 } - 4 }{ 2 } \right ] 成立。由二次函数性质可知该条件等价于 h ( -1 ) \leq 0, h \left ( \dfrac{ m^{ 2 } - 4 }{ 2 } \right ) \leq 0，则有：

m^{ 4 } - 4 m^{ 2 } + 4 \leq 0

以及：

3 m^{ 4 } - 24 m^{ 2 } + 36 \leq 0

故可以解得 m = \pm \sqrt{ 2 }，舍负后即得 m = \sqrt{ 2 }。

故 f ( x ) 最大值和最小值分别为 2 \sqrt{ 2 }, \sqrt{ 2 }。

by HAR。