题目

\forall x, y \in \mathbb{ R }，求证：

4^{ x } - 4^{ y } \leq \dfrac{ \left ( 2^{ x + 2 } - 2^{ y + 1 } - 2^{ y } \right )^{ 2 } }{ 7 }

解析

引理：Aczel 不等式（反向柯西不等式）的二阶形式

\forall a, b, c, d \in \mathbb{ R }，有：

\left ( a^{ 2 } - b^{ 2 } \right ) \left ( c^{ 2 } - d^{ 2 } \right ) \leq \left ( ac - bd \right )^{ 2 }

证明：

将不等式两侧展开，记左侧值为 L，右侧值为 R，则有：

L = a^{ 2 } c^{ 2 } - a^{ 2 } d^{ 2 } - b^{ 2 } c^{ 2 } + b^{ 2 } d^{ 2 }, R = a^{ 2 } c^{ 2 } - 2 a b c d + b^{ 2 } d^{ 2 }

则有：

R - L = a^{ 2 } d^{ 2 } + b^{ 2 } c^{ 2 } - 2 a b c d = \left ( a d - b c \right )^{ 2 } \geq 0

故 L \leq R，原不等式成立。

将原不等式变形，则所证即为：

7 \left ( 2^{ 2 x } - 2^{ 2 y } \right ) \leq \left ( 4 \cdot 2^{ x } - 3 \cdot 2^{ y } \right )^{ 2 }

注意到 7 = 4^{ 2 } - 3^{ 2 }，则所证即：

\left ( 4^{ 2 } - 3^{ 2 } \right ) \left ( 2^{ 2 x } - 2^{ 2 y } \right ) \leq \left ( 4 \cdot 2^{ x } - 3 \cdot 2^{ y } \right )^{ 2 }

由 Aczel 不等式的二阶形式得证。

by CXY。