题目
设 a, b, c 均为正实数，且 a + b + c > a b c。
求证下式中必有至少两式成立：
\begin{cases}
\dfrac{ 9 }{ a } + \dfrac{ 6 }{ b } + \dfrac{ 5 }{ c } \geq \dfrac{ 19 }{ 2 } \\
\dfrac{ 6 }{ a } + \dfrac{ 5 }{ b } + \dfrac{ 9 }{ c } \geq \dfrac{ 19 }{ 2 } \\
\dfrac{ 5 }{ a } + \dfrac{ 9 }{ b } + \dfrac{ 6 }{ c } \geq \dfrac{ 19 }{ 2 } \\
\end{cases}
解析
考虑反证法，假设有两式不成立，不妨为第一式和第二式，则有：
\begin{cases}
\dfrac{ 9 }{ a } + \dfrac{ 6 }{ b } + \dfrac{ 5 }{ c } < \dfrac{ 19 }{ 2 } & \qquad (1) \\
\dfrac{ 6 }{ a } + \dfrac{ 5 }{ b } + \dfrac{ 9 }{ c } < \dfrac{ 19 }{ 2 } & \qquad (2) \\
\dfrac{ 5 }{ a } + \dfrac{ 9 }{ b } + \dfrac{ 6 }{ c } \geq \dfrac{ 19 }{ 2 } & \qquad (3)
\end{cases}
由 9 \times (1) + 2 \times (2) - 1 \times (3) 可得：
\dfrac{ 88 }{ a } + \dfrac{ 55 }{ b } + \dfrac{ 57 }{ c } < 95
则有：
\dfrac{ 55 }{ a } + \dfrac{ 55 }{ b } + \dfrac{ 55 }{ c } < \dfrac{ 88 }{ a } + \dfrac{ 55 }{ b } + \dfrac{ 57 }{ c } < 95
即：
\dfrac{ 1 }{ a } + \dfrac{ 1 }{ b } + \dfrac{ 1 }{ c } < \dfrac{ 19 }{ 11 }
而又因为：
\begin{aligned}
\left ( \dfrac{ 1 }{ a } + \dfrac{ 1 }{ b } + \dfrac{ 1 }{ c } \right )^{ 2 }
& = \dfrac{ 1 }{ a^{ 2 } } + \dfrac{ 1 }{ b^{ 2 } } + \dfrac{ 1 }{ c^{ 2 } } + \dfrac{ 2 }{ a b } + \dfrac{ 2 }{ b c } + \dfrac{ 2 }{ c a } \\
& = \dfrac{ 1 }{ 2 } \left ( \dfrac{ 1 }{ a^{ 2 } } + \dfrac{ 1 }{ b^{ 2 } } + \dfrac{ 1 }{ b^{ 2 } } + \dfrac{ 1 }{ c^{ 2 } } + \dfrac{ 1 }{ c^{ 2 } } + \dfrac{ 1 }{ a^{ 2 } } \right ) + \dfrac{ 2 }{ a b } + \dfrac{ 2 }{ b c } + \dfrac{ 2 }{ c a } \\
& \geq \dfrac{ 1 }{ 2 } \left ( \dfrac{ 2 }{ a b } + \dfrac{ 2 }{ b c } + \dfrac{ 2 }{ c a } \right ) + \dfrac{ 2 }{ a b } + \dfrac{ 2 }{ b c } + \dfrac{ 2 }{ c a } \\
& = \dfrac{ 3 }{ a b } + \dfrac{ 3 }{ b c } + \dfrac{ 3 }{ c a } \\
& = \dfrac{ 3 ( a + b + c ) }{ a b c } \\
& > 3
\end{aligned}
故：
\dfrac{ 1 }{ a } + \dfrac{ 1 }{ b } + \dfrac{ 1 }{ c } > \sqrt{ 3 }
与 \dfrac{ 1 }{ a } + \dfrac{ 1 }{ b } + \dfrac{ 1 }{ c } < \dfrac{ 19 }{ 11 } 矛盾。
故假设不成立，原命题成立。
by CXY。