题目
两正实数 x, y 满足 16 x^{ 2 } - x y + y^{ 2 } = 1，求 4 x + y 的最大值。
请至少用四种方法解决本题。
解析
法一：基本不等式
由均值不等式可得：
\begin{aligned}
1 & = 16 x^{ 2 } - x y + y^{ 2 } \\
& = ( 4 x + y )^{ 2 } - 9 x y \\
& = ( 4 x + y )^{ 2 } - \dfrac{ 9 }{ 4 } \cdot 4 x y \\
& \geq ( 4 x + y )^{ 2 } - \dfrac{ 9 }{ 4 } \left ( \dfrac{ 4 x + y }{ 2 } \right )^{ 2 } \\
& = \dfrac{ 7 }{ 16 } ( 4 x + y )^{ 2 }
\end{aligned}
当且仅当 4 x = y = \dfrac{ 2 \sqrt{ 7 } }{ 7 } 时不等式取等，故有：
4 x + y \leq \sqrt{ \dfrac{ 16 }{ 7 } } = \dfrac{ 4 \sqrt{ 7 } }{ 7 }
法二：万能 k 法
令 k = 4 x + y，则 y = k - 4 x。
代入得：
16 x^{ 2 } - x ( k - 4 x ) + ( k - 4 x )^{ 2 } = 1
整理得 36 x^{ 2 } - 9 k x + k^{ 2 } - 1 = 0。
故有：
\Delta = 81 k^{ 2 } - 144 \left ( k^{ 2 } - 1 \right ) \geq 0
即 k^{ 2 } \leq \dfrac{ 16 }{ 7 }，即 k \leq \dfrac{ 4 \sqrt{ 7 } }{ 7 }。
法三：三角换元
1 = 16 x^{ 2 } - x y + y^{ 2 } = \left ( 4 x - \dfrac{ 1 }{ 8 } y \right )^{ 2 } + \left ( \dfrac{ \sqrt{ 63 } }{ 8 } y \right )^{ 2 }
令 \sin{ \theta } = 4 x - \dfrac{ 1 }{ 8 } y, \cos{ \theta } = \dfrac{ \sqrt{ 63 } }{ 8 } y，则有：
4 x = \sin{ \theta } + \dfrac{ 1 }{ \sqrt{ 63 } } \cos{ \theta }, y = \dfrac{ 8 }{ \sqrt{ 63 } } \cos{ \theta }
则有：
\begin{aligned}
4 x + y & = \sin{ \theta } + \dfrac{ 9 }{ \sqrt{ 63 } } \cos{ \theta } \\
& = \sqrt{ 1^{ 2 } + \left ( \dfrac{ 9 }{ \sqrt{ 63 } } \right )^{ 2 } } \sin{ ( \theta + \phi ) } \\
& \leq \sqrt{ 1^{ 2 } + \left ( \dfrac{ 9 }{ \sqrt{ 63 } } \right )^{ 2 } } \\
& = \dfrac{ 4 \sqrt{ 7 } }{ 7 }
\end{aligned}
当且仅当 \theta + \phi = \dfrac{ \mathrm{ \pi } }{ 2 } + 2 n \mathrm{ \pi }（n \in \mathbb{ Z }）时不等式取等。
法四：待定系数法
设 \mu 满足：
1 = 16 x^{ 2 } - x y + y^{ 2 } = \mu ( 4 x + y )^{ 2 } + ( 1 - \mu ) ( 4 x - y )^{ 2 }
解得 \mu = \dfrac{ 7 }{ 16 }，则 \dfrac{ 7 }{ 16 } ( 4 x + y )^{ 2 } \leq 1，故 4 x + y \leq \dfrac{ 4 \sqrt{ 7 } }{ 7 }。
法五：齐次化法
\begin{aligned}
( 4 x + y )^{ 2 } & = \dfrac{ ( 4 x + y )^{ 2 } }{ 1 } \\
& = \dfrac{ ( 4 x + y )^{ 2 } }{ 16 x^{ 2 } - x y + y^{ 2 } } \\
& = \dfrac{ 16 x^{ 2 } + 8 x y + y^{ 2 } }{ 16 x^{ 2 } - x y + y^{ 2 } } \\
& = 1 + \dfrac{ 9 x y }{ 16 x^{ 2 } - x y + y^{ 2 } } \\
& = 1 + \dfrac{ 9 }{ \dfrac{ 16 x }{ y } - 1 + \dfrac{ y }{ x } } \\
& \leq 1 + \dfrac{ 9 }{ 2 \sqrt{ 16 } - 1 } \\
& = \dfrac{ 16 }{ 7 }
\end{aligned}
故 4 x + y \leq \dfrac{ 4 \sqrt{ 7 } }{ 7 }，当且仅当 4 x = y = \dfrac{ 2 \sqrt{ 7 } }{ 7 } 时不等式取等。
法六：轮换对称式地位等价法（慎用）
令 4 x = y，则 28 x^{ 2 } = 1，则 x = \dfrac{ 1 }{ \sqrt{ 28 } }，则 4 x + y = 8 x = \dfrac{ 8 }{ \sqrt{ 28 } } = \dfrac{ 4 \sqrt{ 7 } }{ 7 }。
法七：向量不等式
构造向量 \boldsymbol{ a } = \left ( 4 x - \dfrac{ 1 }{ 8 } y, \dfrac{ \sqrt{ 63 } }{ 8 } y \right ), \boldsymbol{ b } = \left ( 1, \dfrac{ 9 }{ \sqrt{ 63 } } \right )。
则有：
\begin{aligned}
4 x + y & = \boldsymbol{ a } \cdot \boldsymbol{ b } \\
& \leq | \boldsymbol{ a } | \cdot | \boldsymbol{ b } | \\
& = \sqrt{ \left ( 4 x - \dfrac{ 1 }{ 8 } y \right )^{ 2 } + \left ( \dfrac{ \sqrt{ 63 } }{ 8 } y \right )^{ 2 } } \cdot \sqrt{ 1^{ 2 } + \left ( \dfrac{ 9 }{ \sqrt{ 63 } } \right )^{ 2 } } \\
& = \dfrac{ 4 \sqrt{ 7 } }{ 7 }
\end{aligned}
by HAR。
