题目
对于正实数 x, y, z，求证：
\dfrac{ 2 x + y + z }{ \sqrt{ y + z } } + \dfrac{ x + 2 y + z }{ \sqrt{ z + x } } + \dfrac{ x + y + 2 z }{ \sqrt{ x + y } } \geq 2 \sqrt{ 6 ( x + y + z ) }
解析
令 \sigma = x + y + z，则要证原不等式即证：
\dfrac{ \sigma + x }{ \sqrt{ \sigma - x } } + \dfrac{ \sigma + y }{ \sqrt{ \sigma - y } } + \dfrac{ \sigma + z }{ \sqrt{ \sigma - z } } \geq 2 \sqrt{ 6 \sigma }
令 f ( t ) = \dfrac{ \sigma + t }{ \sqrt{ \sigma - t } }。
则 f'' ( t ) = \dfrac{ 7 \sigma - t }{ 4 ( \sigma - t )^{ \frac{ 5 }{ 2 } } }，当 t \in ( 0, \sigma ) 时 f'' ( t ) > 0，即 f ( t ) 为下凸函数（此步也可略去求导，使用凸函数的定义硬算也可得到相同结果，但较为繁琐）。
则由琴生不等式可得：
f ( x ) + f ( y ) + f ( z ) \geq 3 f \left ( \dfrac{ x + y + z }{ 3 } \right ) = 3 f \left ( \dfrac{ \sigma }{ 3 } \right )
而展开 3 f \left ( \dfrac{ \sigma }{ 3 } \right ) 可得：
3 f \left ( \dfrac{ \sigma }{ 3 } \right ) = \dfrac{ 4 \sigma }{ \sqrt { \dfrac { 2 }{ 3 } \sigma } } = \sqrt { 24 \sigma } = 2 \sqrt{ 6 \sigma }
故代入 x, y, z 可得：
\dfrac{ \sigma + x }{ \sqrt{ \sigma - x } } + \dfrac{ \sigma + y }{ \sqrt{ \sigma - y } } + \dfrac{ \sigma + z }{ \sqrt{ \sigma - z } } \geq 2 \sqrt{ 6 \sigma }
即原不等式成立，得证。
by CXY。