题目
设有一函数 f ( x ) 定义域为 [ 0, +\infty )，且 f ( x ) 在 [ 0, +\infty ) 上单调递增。
且 \forall x \in [ 0, +\infty ), f \left ( f ( x ) - \sqrt{ 3 x } \right ) = 3。
若方程 f ( x + 3 ) = x + k 有且仅有两不同实数根，求 k 的取值范围。
解析
因为 f ( x ) 在定义域上单调递增且 \forall x \in [ 0, +\infty ), f \left ( f ( x ) - \sqrt{ 3 x } \right ) = 3。
所以设 f ( x ) = \sqrt{ 3 x } + t，则有 f ( t ) = \sqrt{ 3 t } + t = 3。
所以有 t^{ 2 } - 9 t + 9 = 0，解得 t = \dfrac{ 9 - 3 \sqrt{ 5 } }{ 2 }（另一根大于 3，舍去）。
所以有 f ( x ) = \sqrt{ 3 x } + \dfrac{ 9 - 3 \sqrt{ 5 } }{ 2 }。
因为有 f ( x + 3 ) = x + k，所以有 \sqrt{ 3 ( x + 3 ) } + \dfrac{ 9 - 3 \sqrt{ 5 } }{ 2 } = x + k。
令 u = \sqrt{ x + 3 }（u \in [ 0, +\infty )），则 x = u^{ 2 } - 3。
所以有 \sqrt{ 3 } u + \dfrac{ 9 - 3 \sqrt{ 5 } }{ 2 } = u^{ 2 } - 3 + k，即 g ( u ) = -u^{ 2 } + \sqrt{ 3 } u + \dfrac{ 15 - 3 \sqrt{ 5 } }{ 2 } = k 有两不等实根。
由于 g ( u ) 为开口向下的二次函数且对称轴为 u = \dfrac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 }，故有 k \in \left [ g ( 0 ), g \left ( \dfrac{ \sqrt{ 3 } }{ 2 } \right ) \right ) = \left [ \dfrac{ 15 - 3 \sqrt{ 5 } }{ 2 }, \dfrac{ 33 - 6 \sqrt{ 5 } }{ 4 } \right )。
by HAR。