题目
对于正数 a, b, c 满足 a^{ 3 } + b^{ 3 } + c^{ 3 } = \dfrac{ 99 }{ 8 }，求证：
a^{ 7 } + \dfrac{ 1 }{ 16 } b^{ 7 } + \dfrac{ 16 }{ 81 } c^{ 7 } \geq \dfrac{ 99 }{ 8 }
解析
引理：卡尔松不等式
在 m \times n 的非负实数矩阵中，n 列每列元素之和的几何平均值不小于矩阵中 m 行每行元素的几何平均值之和。
符号语言即：
\prod\limits_{ i }^{ n }{ \left ( \sum\limits_{ j }^{ m }{ x_{ j, i } } \right ) }^{ \frac{ 1 }{ n } } \geq \sum\limits_{ j }^{ m }{ \left ( \prod\limits_{ i }^{ n }{ x_{ j, i } } \right )^{ \frac{ 1 }{ n } } }证明：
令 A_{ i } = \sum\limits_{ j }^{ m }{ x_{ j, i } }，由均值不等式可知：
\dfrac{ 1 }{ n } \sum\limits_{ i }^{ n }{ \dfrac{ x_{ j, i } }{ A_{ i } } } \geq \left ( \prod\limits_{ i }^{ n }{ \dfrac{ x_{ j, i } }{ A_{ i } } } \right )^{ \frac{ 1 }{ n } }则：
\sum\limits_{ j }^{ m }{ \left ( \dfrac{ 1 }{ n } \sum\limits_{ i }^{ n }{ \dfrac{ x_{ j, i } }{ A_{ i } } } \right ) } \geq \sum\limits_{ j }^{ m }{ \left ( \prod\limits_{ i }^{ n }{ \dfrac{ x_{ j, i } }{ A_{ i } } } \right )^{ \frac{ 1 }{ n } } }即：
1 \geq \sum\limits_{ j }^{ m }{ \left ( \prod\limits_{ i }^{ n }{ \dfrac{ x_{ j, i } }{ A_{ i } } } \right )^{ \frac{ 1 }{ n } } }即：
\left ( \prod\limits_{ i }^{ n }{ A_{ i } } \right )^{ \frac{ 1 }{ n } } \geq \sum\limits_{ j }^{ m }{ \left ( \prod\limits_{ i }^{ n }{ x_{ j, i } } \right )^{ \frac{ 1 }{ n } } }即：
\prod\limits_{ i }^{ n }{ \left ( \sum\limits_{ j }^{ m }{ x_{ j, i } } \right ) }^{ \frac{ 1 }{ n } } \geq \sum\limits_{ j }^{ m }{ \left ( \prod\limits_{ i }^{ n }{ x_{ j, i } } \right )^{ \frac{ 1 }{ n } } }得证。
题目即证：
a^{ 7 } + \dfrac{ 1 }{ 16 } b^{ 7 } + \dfrac{ 16 }{ 81 } c^{ 7 } \geq a^{ 3 } + b^{ 3 } + c^{ 3 }
注意到形式可以用卡尔松不等式，于是可以列出矩阵：
\begin{pmatrix}
a^{ 7 } & a^{ 7 } & a^{ 7 } & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\dfrac{ 1 }{ 16 } b^{ 7 } & \dfrac{ 1 }{ 16 } b^{ 7 } & \dfrac{ 1 }{ 16 } b^{ 7 } & 8 & 8 & 8 & 8 \\
\dfrac{ 16 }{ 81 } c^{ 7 } & \dfrac{ 16 }{ 81 } c^{ 7 } & \dfrac{ 16 }{ 81 } c^{ 7 } & \dfrac{ 27 }{ 8 } & \dfrac{ 27 }{ 8 } & \dfrac{ 27 }{ 8 } & \dfrac{ 27 }{ 8 }
\end{pmatrix}
然后由卡尔松不等式可得：
\sqrt[ 7 ]{ \left ( 1 + 8 + \dfrac{ 27 }{ 8 } \right )^{ 4 } \left ( a^{ 7 } + \dfrac{ 1 }{ 16 } b^{ 7 } + \dfrac{ 16 }{ 81 } c^{ 7 } \right )^{ 3 } } \geq \sqrt[ 7 ]{ a^{ 21 } } + \sqrt[ 7 ]{ b^{ 21 } } + \sqrt[ 7 ]{ c^{ 21 } }
即：
\sqrt[ 7 ]{ \left ( \dfrac{ 99 }{ 8 } \right )^{ 4 } \left ( a^{ 7 } + \dfrac{ 1 }{ 16 } b^{ 7 } + \dfrac{ 16 }{ 81 } c^{ 7 } \right )^{ 3 } } \geq a^{ 3 } + b^{ 3 } + c^{ 3 } = \dfrac{ 99 }{ 8 }
两边 7 次方，即可得：
\left ( \dfrac{ 99 }{ 8 } \right )^{ 4 } \left ( a^{ 7 } + \dfrac{ 1 }{ 16 } b^{ 7 } + \dfrac{ 16 }{ 81 } c^{ 7 } \right )^{ 3 } \geq \left ( \dfrac{ 99 }{ 8 } \right )^{ 7 }
即：
\left ( a^{ 7 } + \dfrac{ 1 }{ 16 } b^{ 7 } + \dfrac{ 16 }{ 81 } c^{ 7 } \right )^{ 3 } \geq \left ( \dfrac{ 99 }{ 8 } \right )^{ 3 }
即：
a^{ 7 } + \dfrac{ 1 }{ 16 } b^{ 7 } + \dfrac{ 16 }{ 81 } c^{ 7 } \geq \dfrac{ 99 }{ 8 }
故得证。
by CXY。