题目
对于实数 x, y 满足 x, y > 1，且有：
x + 3^{ y } = 54
求 ( 3 x )^{ y + 1 } 的最大值，并指出此时 x 的值。
解析
令 z = \log_{ 3 }{ x }，则有：
3^{ y } + 3^{ z } = 54
所求即 3^{ ( y + 1 ) ( z + 1 ) }。
则由均值不等式可得：
\begin{aligned}
3^{ y } + 3^{ z } & \geq 2 \cdot 3^{ \frac{ y + z }{ 2 } } \\
& = 2 \cdot 3^{ \frac{ y + 1 + z + 1 }{ 2 } - 1 } \\
& \geq 2 \cdot 3^{ \sqrt{ ( y + 1 ) ( z + 1 ) } - 1 }
\end{aligned}
等号成立当且仅当 y = z，此时 x = 27。
故有：
3^{ \sqrt{ ( y + 1 ) ( z + 1 ) } } \leq 81
即：
( y + 1 ) ( z + 1 ) \leq \left ( \log_{ 3 }{ 81 } \right )^{ 2 } = 16
故：
3^{ ( y + 1 ) ( z + 1 ) } \leq 3^{ 16 }
综上，( 3 x )^{ y + 1 } 的最大值为 3^{ 16 } = 43046721，此时 x = 27。
by CXY。