题目

已知函数 f ( x ) 定义域为 ( 0, 2 ) 且有：

f ( x ) = \begin{cases} | \ln{ 2 x } |, & 0 < x < 1 \\ \ln{ 2 } + \ln{ ( 2 - x ) }, & 1 \leq x < 2 \end{cases}

有三实数 a, b, c，满足 0 < a < b < c < 2 且 f ( a ) = f ( b ) = f ( c )，令：

m = \dfrac{ 1 }{ a b c } + \dfrac{ 1 }{ a b } + \dfrac{ 1 }{ b c } + \dfrac{ 1 }{ c a } + \dfrac{ 1 }{ b } + \dfrac{ 1 }{ c }

求 m 的取值范围。

解析

由图像法大致可知 a \in \left ( 0, \dfrac{ 1 }{ 2 } \right ), b \in \left ( \dfrac{ 1 }{ 2 }, 1 \right ), c \in ( 1, 2 )，故 f ( a ) = -\ln{ 2 a }, f ( b ) = \ln{ 2 b }, f ( c ) = \ln{ 2 } + \ln{ ( 2 - c ) }。

故有 \ln{ 2 a } + \ln{ 2 b } = 0 即 \ln{ 4 a b } = 0，故有 a b = \dfrac{ 1 }{ 4 }，故 a \in \left ( \dfrac{ 1 }{ 4 }, \dfrac{ 1 }{ 2 } \right )。

因为 \ln{ 2 } + \ln{ ( 2 - x ) } = \ln{ ( 4 - 2 x ) }，故 y = \ln{ 2 } + \ln{ ( 2 - x ) } 与 y = \ln{ 2 x } 的图像关于 x = 1 对称。

故有 b + c = 2 \cdot 1 = 2。

则：

\begin{aligned} m & = \dfrac{ 1 }{ a b c } + \dfrac{ 1 }{ a b } + \dfrac{ 1 }{ b c } + \dfrac{ 1 }{ c a } + \dfrac{ 1 }{ b } + \dfrac{ 1 }{ c } \\ & = \dfrac{ ab + ac + a + b + c + 1 }{ a b c } \\ & = \dfrac{ ( a + 1 ) ( b + c + 1) }{ a b c } \\ & = \dfrac{ 3 ( a + 1 ) }{ \dfrac{ c }{ 4 } } \\ & = \dfrac{ 3 ( a + 1 ) }{ \dfrac{ 8 a - 1 }{ 16 a } } \\ & = \dfrac{ 48 a ( a + 1 ) }{ 8 a - 1 } \\ \end{aligned}

令 t = 8 a - 1, t \in ( 1, 3 )，则 a = \dfrac{ t + 1 }{ 8 }，则：

\begin{aligned} m & = \dfrac{ 3 ( t + 1 ) ( t + 9 ) }{ 4 t } \\ & = \dfrac{ 3 }{ 4 } \left ( t + \dfrac{ 9 }{ t } + 10 \right ) \end{aligned}

令 g ( t ) = \dfrac{ 3 }{ 4 } \left ( t + \dfrac{ 9 }{ t } + 10 \right )，易得 g ( t ) 在 ( 1, 3 ) 上单调递减，故 g ( t ) \in ( g ( 3 ), g ( 1 ) ) = ( 12, 15 )（t \in ( 1, 3 )）。

故 m \in ( 12, 15 )。

by LZW。