题目
有一些同学参加考试，考试共有 15 道选择题，每道题有 3 个选项，若任意 3 名学生中都有至少一题的答案互不相同，求至多有多少同学参加考试。
解析
设 a_{ n } 为 n 道选择题，每道题 3 个选项，且任意 3 名学生中都有至少一题的答案互不相同时，至多有多少同学参加考试。
根据抽屉原理，对于第 n 道题，至少会有 1 个选项使得选择该选项的人数不超过 \left \lfloor \dfrac{ a_{ n } }{ 3 } \right \rfloor 个，也就是说至少有 a_{ n } - \left \lfloor \dfrac{ a_{ n } }{ 3 } \right \rfloor 个人，他们的第 n 题的答案不超过 2 种，此时剩下的 n - 1 道题就必须满足任意 3 名学生中都有至少一题的答案互不相同，所以就有递推式：
a_{ n } - \left \lfloor \dfrac{ a_{ n } }{ 3 } \right \rfloor = a_{ n - 1 }
即：
a_{ n } = \left \lfloor \dfrac{ 3 }{ 2 } a_{ n - 1 } \right \rfloor
因为 a_{ 1 } = 3，由递推即可得到 a_{ 15 } = 711。
by CXY。