题目
平面向量 \boldsymbol{ a }, \boldsymbol{ b } 满足 \boldsymbol{ a } \cdot \boldsymbol{ e } = 2, \boldsymbol{ b } \cdot \boldsymbol{ e } = -3（其中 \boldsymbol{ e } 为单位向量，即 | \boldsymbol{ e } | = 1），且有 | \boldsymbol{ a } |^{ 2 } + | \boldsymbol{ b } |^{ 2 } = 50，求 \boldsymbol{ a } \cdot \boldsymbol{ b } 的最大值。
解析
以 \boldsymbol{ e } = ( 1, 0 ) 建系，则有 \boldsymbol{ a } = ( 2, a ), \boldsymbol{ b } = ( -3, b )，故有 | \boldsymbol{ a } |^{ 2 } + | \boldsymbol{ b } |^{ 2 } = 2^{ 2 } + a^{ 2 } + ( -3 )^{ 2 } + b^{ 2 } = 50，即 a^{ 2 } + b^{ 2 } = 37。
故有：
\boldsymbol{ a } \cdot \boldsymbol{ b } = -6 + a b \leq -6 + \dfrac{ a^{ 2 } + b^{ 2 } }{ 2 } = \dfrac{ 25 }{ 2 }
故所求最大值为 \dfrac{ 25 }{ 2 }。
by CXY。