题目
在 \triangle ABC 中，a = \sqrt{ 11 }, b - c = \sqrt{ 7 }，且 \triangle ABC 的面积为 \sqrt{ 5 }，求 \overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AC }。
解析
因为 S_{ \triangle ABC } = \dfrac{ 1 }{ 2 } b c \sin{ A } = \sqrt{ 5 }，所以有：
\sin{ A } = \dfrac{ 2 \sqrt{ 5 } }{ b c }
又因为有：
\cos{ A } = \dfrac{ b^{ 2 } + c^{ 2 } - a^{ 2 } }{ 2 b c } = \dfrac{ ( b - c )^{ 2 } - a^{ 2 } + 2 b c }{ 2 b c } = \dfrac{ b c - 2 }{ b c }
且 \sin^{ 2 }{ A } + \cos^{ 2 }{ A } = 1，故有：
\left ( \dfrac{ 2 \sqrt{ 5 } }{ b c } \right )^{ 2 } + \left ( \dfrac{ b c - 2 }{ b c } \right )^{ 2 } = 1
可以解得 b c = 6，故有 \overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AC } = b c \cos{ A } = 4。
by CXY。