题目
已知 O 是 \triangle ABC 的外心，且 \overrightarrow{ AO } = 4 \overrightarrow{ AB } + 11 \overrightarrow{ AC }，求 \dfrac{ | AB | }{ | AC | }。
解析
对原式进行变形可得：
\overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AO } = 4 \overrightarrow{ AB }^{ 2 } + 11 \overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AC }
由于 \overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AO } = \dfrac{ 1 }{ 2 } \overrightarrow{ AB }^{ 2 }，故有 \overrightarrow{ AB }^{ 2 } = -\dfrac{ 22 }{ 7 } \overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AC }，同理可得 \overrightarrow{ AC }^{ 2 } = -\dfrac{ 8 }{ 21 } \overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AC }。
故有 \dfrac{ | AB | }{ | AC | } = \sqrt{ \dfrac{ \overrightarrow{ AB }^{ 2 } }{ \overrightarrow{ AC }^{ 2 } } } = \sqrt{ \dfrac{ 33 }{ 4 } } = \dfrac{ \sqrt{ 33 } }{ 2 }。
by CXY。