题目

设 H 是 \triangle ABC 的垂心，且 5 \overrightarrow{ HA } + 7 \overrightarrow{ HB } + 11 \overrightarrow{ HC } = \boldsymbol{ 0 }，求 \cos{ \angle BHC } 的值。

解析

设向量 \boldsymbol{ a } = \overrightarrow{ HA }, \boldsymbol{ b } = \overrightarrow{ HB }, \boldsymbol{ c } = \overrightarrow{ HC }，设 u = \boldsymbol{ b } \cdot \boldsymbol{ c }。

则有 \cos{ \angle BHC } = \dfrac{ \boldsymbol{ b } \cdot \boldsymbol{ c } }{ | \boldsymbol{ b } | \cdot | \boldsymbol{ c } | } = \dfrac{ u }{ | \boldsymbol{ b } | \cdot | \boldsymbol{ c } | }。

因为 H 是 \triangle ABC 的垂心，所以有 \boldsymbol{ a } \cdot \boldsymbol{ b } = \boldsymbol{ b } \cdot \boldsymbol{ c } = \boldsymbol{ c } \cdot \boldsymbol{ a } = u，故对题目所给式进行变形有：

5 \boldsymbol{ a } \cdot \boldsymbol{ b } + 7 \boldsymbol{ b }^{ 2 } + 11 \boldsymbol{ c } \cdot \boldsymbol{ b } = \boldsymbol{ 0 }

即有 \boldsymbol{ b }^{ 2 } = -\dfrac{ 16 }{ 7 } u，则 | \boldsymbol{ b } | = \sqrt{ -\dfrac{ 16 }{ 7 } u }，同理可得 | \boldsymbol{ c } | = \sqrt{ -\dfrac{ 12 }{ 11 } u }。

故有：

\begin{aligned} \cos{ \angle BHC } & = \dfrac{ u }{ | \boldsymbol{ b } | \cdot | \boldsymbol{ c } | } \\ & = \dfrac{ u }{ \sqrt{ -\dfrac{ 16 }{ 7 } u } \cdot \sqrt{ -\dfrac{ 12 }{ 11 } u } } \\ & = \dfrac{ u }{ -\sqrt{ \dfrac{ 192 }{ 77 } } u } \\ & = -\sqrt{ \dfrac{ 77 }{ 192 } } \\ & = -\dfrac{ \sqrt{ 231 } }{ 24 } \end{aligned}

by CXY。