题目

若 \triangle ABC 三边长分别为 BC = a, AC = b, BC = c，G, H, I, O 分别为 \triangle ABC 的重心、垂心、内心、外心。试用 \overrightarrow{ AB }, \overrightarrow{ AC } 分别表示 \overrightarrow{ AG }, \overrightarrow{ AH }, \overrightarrow{ AI }, \overrightarrow{ AO }。

解析

设 \overrightarrow{ AB } = \boldsymbol{ b }, \overrightarrow{ AC } = c。

由余弦定理可得 \cos{ A } = \dfrac{ b^{ 2 } + c^{ 2 } - a^{ 2 } }{ 2 b c }, \cos{ B } = \dfrac{ c^{ 2 } + a^{ 2 } - b^{ 2 } }{ 2 c a }, \cos{ C } = \dfrac{ a^{ 2 } + b^{ 2 } - c^{ 2 } }{ 2 a b }。

易得 \overrightarrow{ AG } = \dfrac{ 1 }{ 3 } \overrightarrow{ AB } + \dfrac{ 1 }{ 3 } \overrightarrow{ AC }。

对于 \overrightarrow{ AH }，其有 \overrightarrow{ AH } = \lambda_{ 1 } \left ( \dfrac{ \boldsymbol{ b } }{ | \boldsymbol{ b } | \cos{ B } } + \dfrac{ \boldsymbol{ c } }{ | \boldsymbol{ c } | \cos{ C } } \right )，以及 \overrightarrow{ BH } = \mu_{ 1 } \left ( \dfrac{ -\boldsymbol{ b } }{ | -\boldsymbol{ b } | \cos{ A } } + \dfrac{ \boldsymbol{ \boldsymbol{ c } - \boldsymbol{ b } } }{ | \boldsymbol{ c } - \boldsymbol{ b } | \cos{ C } } \right )，且由 \overrightarrow{ AH } = \overrightarrow{ AB } + \overrightarrow{ BH }，即：

\dfrac{ \dfrac{ \lambda_{ 1 } }{ c \cos{ B } } }{ 1 - \dfrac{ \mu_{ 1 } }{ c \cos{ A } } - \dfrac{ \mu_{ 1 } }{ a \cos{ C } } } = \dfrac{ \dfrac{ \lambda_{ 1 } }{ b \cos{ C } } }{ \dfrac{ \mu_{ 1 } }{ a \cos{ C } } } = 1

可以解得 \lambda_{ 1 } = \dfrac{ \left ( a^{ 2 } - b^{ 2 } - c^{ 2 } \right ) \left ( a^{ 2 } + b^{ 2 } - c^{ 2 } \right ) \left ( a^{ 2 } - b^{ 2 } + c^{ 2 } \right ) }{ 2 a ( a - b - c ) ( a + b - c ) ( a - b + c ) ( a + b + c ) }。

故有：

\overrightarrow{ AH } = \dfrac{ a^{ 4 } - b^{ 4 } + c^{ 4 } - 2 a^{ 2 } c^{ 2 } }{ a^{ 4 } + b^{ 4 } + c^{ 4 } - a^{ 2 } b^{ 2 } - a^{ 2 } c^{ 2 } - b^{ 2 } c^{ 2 } } \overrightarrow{ AB } + \dfrac{ a^{ 4 } + b^{ 4 } - c^{ 4 } - 2 a^{ 2 } b^{ 2 } }{ a^{ 4 } + b^{ 4 } + c^{ 4 } - a^{ 2 } b^{ 2 } - a^{ 2 } c^{ 2 } - b^{ 2 } c^{ 2 } } \overrightarrow{ AC }

对于 \overrightarrow{ AI }，其有 \overrightarrow{ AI } = \lambda_{ 2 } \left ( \dfrac{ \boldsymbol{ b } }{ | \boldsymbol{ b } | } + \dfrac{ \boldsymbol{ c } }{ | \boldsymbol{ c } | } \right )，以及 \overrightarrow{ BI } = \mu_{ 2 } \left ( \dfrac{ -\boldsymbol{ b } }{ | -\boldsymbol{ b } | } + \dfrac{ \boldsymbol{ \boldsymbol{ c } - \boldsymbol{ b } } }{ | \boldsymbol{ c } - \boldsymbol{ b } | } \right )，且由 \overrightarrow{ AI } = \overrightarrow{ AB } + \overrightarrow{ BI }，即：

\dfrac{ \dfrac{ \lambda_{ 2 } }{ c } }{ 1 - \dfrac{ \mu_{ 2 } }{ c } - \dfrac{ \mu_{ 2 } }{ a } } = \dfrac{ \dfrac{ \lambda_{ 2 } }{ b } }{ \dfrac{ \mu_{ 2 } }{ a } } = 1

可以解得 \lambda_{ 2 } = \dfrac{ b c }{ a + b + c }。

故有：

\overrightarrow{ AI } = \dfrac{ b }{ a + b + c } \overrightarrow{ AB } + \dfrac{ c }{ a + b + c } \overrightarrow{ AC }

对于 \overrightarrow{ AO }，其有 \overrightarrow{ AO } = \dfrac{ 1 }{ 2 } \boldsymbol{ b } + \dfrac{ 1 }{ 2 } \boldsymbol{ c } - \lambda_{ 3 } \left ( \dfrac{ \boldsymbol{ b } }{ | \boldsymbol{ b } | \cos{ B } } + \dfrac{ \boldsymbol{ c } }{ | \boldsymbol{ c } | \cos{ C } } \right )，以及 \overrightarrow{ BO } = \dfrac{ 1 }{ 2 } ( -\boldsymbol{ b } ) + \dfrac{ 1 }{ 2 } ( \boldsymbol{ c } - \boldsymbol{ b } ) - \mu_{ 3 } \left ( \dfrac{ -\boldsymbol{ b } }{ | -\boldsymbol{ b } | \cos{ A } } + \dfrac{ \boldsymbol{ \boldsymbol{ c } - \boldsymbol{ b } } }{ | \boldsymbol{ c } - \boldsymbol{ b } | \cos{ C } } \right )，且由 \overrightarrow{ AO } = \overrightarrow{ AB } + \overrightarrow{ BO }，即：

\dfrac{ \dfrac{ 1 }{ 2 } - \dfrac{ \lambda_{ 3 } }{ c \cos{ B } } }{ \dfrac{ \mu_{ 3 } }{ c \cos{ A } } + \dfrac{ \mu_{ 3 } }{ a \cos{ C } } } = \dfrac{ \dfrac{ 1 }{ 2 } - \dfrac{ \lambda_{ 3 } }{ b \cos{ C } } }{ \dfrac{ 1 }{ 2 } - \dfrac{ \mu_{ 3 } }{ a \cos{ C } } } = 1

可以解得 \lambda_{ 3 } = \dfrac{ \left ( a^{ 2 } - b^{ 2 } - c^{ 2 } \right ) \left ( a^{ 2 } + b^{ 2 } - c^{ 2 } \right ) \left ( a^{ 2 } - b^{ 2 } + c^{ 2 } \right ) }{ 4 a ( a - b - c ) ( a + b - c ) ( a - b + c ) ( a + b + c ) }。

故有：

\overrightarrow{ AO } = \dfrac{ b^{ 2 } \left ( -a^{ 2 } + b^{ 2 } - c^{ 2 } \right ) }{ ( a - b - c ) ( a + b - c ) ( a - b + c ) ( a + b + c ) } \overrightarrow{ AB } + \dfrac{ c^{ 2 } \left ( -a^{ 2 } - b^{ 2 } + c^{ 2 } \right ) }{ ( a - b - c ) ( a + b - c ) ( a - b + c ) ( a + b + c ) } \overrightarrow{ AC }

综上，有：

\overrightarrow{ AG } = \dfrac{ 1 }{ 3 } \overrightarrow{ AB } + \dfrac{ 1 }{ 3 } \overrightarrow{ AC }
\overrightarrow{ AH } = \dfrac{ a^{ 4 } - b^{ 4 } + c^{ 4 } - 2 a^{ 2 } c^{ 2 } }{ a^{ 4 } + b^{ 4 } + c^{ 4 } - a^{ 2 } b^{ 2 } - a^{ 2 } c^{ 2 } - b^{ 2 } c^{ 2 } } \overrightarrow{ AB } + \dfrac{ a^{ 4 } + b^{ 4 } - c^{ 4 } - 2 a^{ 2 } b^{ 2 } }{ a^{ 4 } + b^{ 4 } + c^{ 4 } - a^{ 2 } b^{ 2 } - a^{ 2 } c^{ 2 } - b^{ 2 } c^{ 2 } } \overrightarrow{ AC }
\overrightarrow{ AI } = \dfrac{ b }{ a + b + c } \overrightarrow{ AB } + \dfrac{ c }{ a + b + c } \overrightarrow{ AC }
\overrightarrow{ AO } = \dfrac{ b^{ 2 } \left ( -a^{ 2 } + b^{ 2 } - c^{ 2 } \right ) }{ ( a - b - c ) ( a + b - c ) ( a - b + c ) ( a + b + c ) } \overrightarrow{ AB } + \dfrac{ c^{ 2 } \left ( -a^{ 2 } - b^{ 2 } + c^{ 2 } \right ) }{ ( a - b - c ) ( a + b - c ) ( a - b + c ) ( a + b + c ) } \overrightarrow{ AC }

by CXY。