题目
在边长均为 1 的正 n 边形中，n 个顶点分别为 A_{ 1 }, A_{ 2 }, \ldots, A_{ n }，P 为该 n 边形内一点（含边界），求 \left | \sum\limits_{ i = 1 }^{ n }{ \overrightarrow{ PA_{ i } } } \right | 的最大值。
解析
设 O 为该 n 边形的中点，则有：
\left | \sum\limits_{ i = 1 }^{ n }{ \overrightarrow{ PA_{ i } } } \right | = \left | \sum\limits_{ i = 1 }^{ n }{ \left ( \overrightarrow{ PO } + \overrightarrow{ OA_{ i } } \right ) } \right | = \left | n \overrightarrow{ PO } \right |
由于 P 在该 n 边形的内部，故必然当 P 位于该 n 边形任意一顶点时 PO 取得最大值，该值为 \dfrac{ 1 }{ 2 \sin{ \dfrac{ \mathrm{ \pi } }{ n } } }。
故有 \left | n \overrightarrow{ PO } \right | \leq \dfrac{ n }{ 2 \sin{ \dfrac{ \mathrm{ \pi } }{ n } } }。
by CXY。