题目
一个袋子里有 4 个红球、5 个绿球、6 个篮球和 7 个白球，这些球除了颜色外没有区别，现在一个人从袋子里随机拿球，求对于每一个颜色，该颜色先被拿完的概率。
解析
考虑红球先被拿完的概率。将拿球的顺序记为一个颜色序列，则这个序列是随机排列的，那么红球先被拿完的方案即为在该序列中最后一个红球的后面至少还有绿、蓝、白球各一个。最后一个球有 \dfrac{ 5 }{ 22 } 的概率是绿球，而刨掉所有绿球后最后一个球有 \dfrac{ 6 }{ 17 } 的概率是蓝球，再刨掉所有蓝球后最后一个球有 \dfrac{ 7 }{ 11 } 的概率是白球。类似的，可以求出红球后面至少还有绿、蓝、白球各一个的概率即为：
\dfrac{ 5 }{ 22 } \cdot \dfrac{ 6 }{ 17 } \cdot \dfrac{ 7 }{ 11 } + \dfrac{ 5 }{ 22 } \cdot \dfrac{ 7 }{ 17 } \cdot \dfrac{ 6 }{ 10 } + \dfrac{ 6 }{ 22 } \cdot \dfrac{ 5 }{ 16 } \cdot \dfrac{ 7 }{ 11 } + \dfrac{ 6 }{ 22 } \cdot \dfrac{ 7 }{ 16 } \cdot \dfrac{ 5 }{ 9 } + \dfrac{ 7 }{ 22 } \cdot \dfrac{ 5 }{ 15 } \cdot \dfrac{ 6 }{ 10 } + \dfrac{ 7 }{ 22 } \cdot \dfrac{ 6 }{ 15 } \cdot \dfrac{ 5 }{ 9 } = \dfrac{ 12187 }{ 33660 }
同理可以求出绿、蓝、白球先被拿完的概率分别为 \dfrac{ 427 }{ 1584 }, \dfrac{ 7532 }{ 36465 }, \dfrac{ 56645 }{ 350064 }。
by CXY。