题目
求函数 f : \mathbb{ R_{ + } } \to \mathbb{ R_{ + } }，使得：
f \left ( x f ( x ) + y^{ 2 } \right ) = y f ( y ) + x^{ 2 }
解析
由题可得：
f \left ( f \left ( x f ( x ) + y^{ 2 } \right ) \right ) = f \left ( y f ( y ) + x^{ 2 } \right ) = x f ( x ) + y^{ 2 }
所以有 f ( f ( x ) ) = x（\forall x > a），其中 a = \min\limits_{ x \in \mathbb{ R_{ + } } }{ x f ( x ) }。
对于 \forall x > a，因为有：
f \left ( f ( x ) f ( f ( x ) ) + y^{ 2 } \right ) = y f ( y ) + f^{ 2 } ( x )
以及：
f \left ( f ( x ) f ( f ( x ) ) + y^{ 2 } \right ) = f \left ( x f ( x ) + y^{ 2 } \right ) = y f ( y ) + x^{ 2 }
故有f^{ 2 } ( x ) = x^{ 2 }，即 f ( x ) = x（\forall x > a）。
取适当的 y 满足 y > a, y^{ 2 } > a，利用 f ( y ) = y, f \left ( x f ( x ) + y^{ 2 } \right ) = x f ( x ) + y^{ 2 } 即可得：
x f ( x ) + y^{ 2 } = x^{ 2 } + y^{ 2 }
故有 f ( x ) = x（\forall x \in \mathbb{ R_{ + } }）。
by CXY。