题目
这一次的英语考试变难了，原来的七选五现在变成了十选七，我们的英语学渣还是只会蒙题，不过他知道七个选项全都不同，所以他会随机的从合法的蒙法中选择一种来作为自己的答案，求他七道题全错的概率。
解析
令 a_{ n } 表示从 n + 3 道题选 n 道题全错的方案数，特别规定 a_{ 0 } = 1。
则有对于 \forall n \in \mathbb{ N_{ + } }：
a_{ n } = \mathrm{ A }_{ n + 3 }^{ n } - \sum\limits_{ i = 1 }^{ n }{ \binom{ n }{ i } a_{ n - i } }
这个式子的意义就是说 a_{ n } 为所有合法的方案数减去蒙对 1, 2, \ldots, n 道题的方案数。
所以我们就有：
\begin{aligned}
a_{ 1 } & = 3 \\
a_{ 2 } & = 13 \\
a_{ 3 } & = 71 \\
a_{ 4 } & = 465 \\
a_{ 5 } & = 3539 \\
a_{ 6 } & = 30637 \\
a_{ 7 } & = 296967
\end{aligned}
所以答案即为 \dfrac{ a_{ 7 } }{ \mathrm{ A }_{ 10 }^{ 7 } } = \dfrac{ 98989 }{ 201600 }。
by CXY。