题目
有 10 级台阶，每次会随机选择向上走 2 级台阶或向下走 1 级台阶（特别地，到达第 10 级台阶后不再走动，第 9 级台阶无法向上走，地面无法向下走），求期望多少步可以走到第 10 级台阶。
解析
设从第 n 级台阶走到第 10 级台阶的期望步数为 a_{ n }，则有：
\begin{cases}
a_{ 0 } = a_{ 2 } + 1 \\
a_{ 1 } = \dfrac{ a_{ 0 } + 1 }{ 2 } + \dfrac{ a_{ 3 } + 1 }{ 2 } \\
a_{ 2 } = \dfrac{ a_{ 1 } + 1 }{ 2 } + \dfrac{ a_{ 4 } + 1 }{ 2 } \\
a_{ 3 } = \dfrac{ a_{ 2 } + 1 }{ 2 } + \dfrac{ a_{ 5 } + 1 }{ 2 } \\
a_{ 4 } = \dfrac{ a_{ 3 } + 1 }{ 2 } + \dfrac{ a_{ 6 } + 1 }{ 2 } \\
a_{ 5 } = \dfrac{ a_{ 4 } + 1 }{ 2 } + \dfrac{ a_{ 7 } + 1 }{ 2 } \\
a_{ 6 } = \dfrac{ a_{ 5 } + 1 }{ 2 } + \dfrac{ a_{ 8 } + 1 }{ 2 } \\
a_{ 7 } = \dfrac{ a_{ 6 } + 1 }{ 2 } + \dfrac{ a_{ 9 } + 1 }{ 2 } \\
a_{ 8 } = \dfrac{ a_{ 7 } + 1 }{ 2 } + \dfrac{ a_{ 10 } + 1 }{ 2 } \\
a_{ 9 } = a_{ 8 } + 1 \\
a_{ 10 } = 0
\end{cases}
可以解得 a_{ 0 } = \dfrac{ 307 }{ 17 }。
by CXY。