题目
求函数 f : \mathbb{ R_{ + } } \to \mathbb{ R_{ + } }，使得 f \left ( x^{ 5 } \right ) - f \left ( x^{ 3 } \right ) = 1。
解析
构造数列 \left \{ x_{ n } \right \} 满足 x_{ i } = { x_{ i - 1 } }^{ \frac{ 5 }{ 3 } }, x = x_{ n }，则有：
\begin{aligned}
f \left ( x_{ 1 } \right ) - f \left ( x_{ 0 } \right ) & = 1 \\
f \left ( x_{ 2 } \right ) - f \left ( x_{ 1 } \right ) & = 1 \\
f \left ( x_{ 3 } \right ) - f \left ( x_{ 2 } \right ) & = 1 \\
& \cdots \\
f \left ( x_{ n } \right ) - f \left ( x_{ n - 1 } \right ) & = 1 \\
\end{aligned}
累加可得 f ( x ) - f \left ( x_{ 0 } \right ) = n。
因为 x = x_{ n } = { x_{ 0 } }^{ \left ( \frac{ 5 }{ 3 } \right )^{ n } }，所以有 n = \log_{ \frac{ 5 }{ 3 } }{ \ln { x } } - \log_{ \frac{ 5 }{ 3 } }{ \ln { x_{ 0 } } }，所以有：
f ( x ) - \log_{ \frac{ 5 }{ 3 } }{ \ln { x } } = f \left ( x_{ 0 } \right ) - \log_{ \frac{ 5 }{ 3 } }{ \ln { x_{ 0 } } }
令 f \left ( x_{ 0 } \right ) - \log_{ \frac{ 5 }{ 3 } }{ \ln { x_{ 0 } } } = C，则 f ( x ) = \log_{ \frac{ 5 }{ 3 } }{ \ln { x } } + C。
by CXY。