题目
若 a, b, c 均为正实数且 2 b > 3 c, 4 c > 5 a，求下式的最小值：
1458 b^{ 5 } + \dfrac{ 1 }{ a ( 2 b - 3 c ) ( 4 c - 5 a ) }
解析
由均值不等式可得：
\begin{aligned}
a ( 2 b - 3 c ) ( 4 c - 5 a ) & = \dfrac{ 1 }{ 180 } \cdot 15 a ( 8 b - 12 c ) ( 12 c - 15 a ) \\
& \leq \dfrac{ 1 }{ 180 } \cdot \left ( \dfrac{ 15 a + ( 8 b - 12 c ) + ( 12 c - 15 a ) }{ 3 } \right )^{ 3 } \\
& = \dfrac{ 1 }{ 180 } \cdot \left ( \dfrac{ 8 b }{ 3 } \right )^{ 3 } \\
& = \dfrac{ 128 }{ 1215 } b^{ 3 }
\end{aligned}
当且仅当 45 a = 8 b = 18 c 时等号成立。
则有：
\begin{aligned}
1458 b^{ 5 } + \dfrac{ 1 }{ a ( 2 b - 3 c ) ( 4 c - 5 a ) } & \geq 1458 b^{ 5 } + \dfrac{ 1215 }{ 128 b^{ 3 } } \\
& = 486 b^{ 5 } + 486 b^{ 5 } + 486 b^{ 5 } + \dfrac{ 243 }{ 128 b^{ 3 } } + \dfrac{ 243 }{ 128 b^{ 3 } } + \dfrac{ 243 }{ 128 b^{ 3 } } + \dfrac{ 243 }{ 128 b^{ 3 } } + \dfrac{ 243 }{ 128 b^{ 3 } } \\
& \geq 8 \sqrt[ 8 ]{ \left ( 486 b^{ 5 } \right )^{ 3 } \left ( \dfrac{ 243 }{ 128 b^{ 3 } } \right )^{ 5 } } \\
& = \dfrac{ 243 }{ 2 }
\end{aligned}
等号成立当且仅当 b = \dfrac{ 1 }{ 2 }。
by CXY。