题目
求解函数方程：
f ( x ) + 2 f \left ( \dfrac{ x - 1 }{ x + 1 } \right ) = x
解析
令 u = \dfrac{ x - 1 }{ x + 1 }, \dfrac{ u - 1 }{ u + 1 } = -\dfrac{ 1 }{ x }，代入原式，则有：
f \left ( \dfrac{ x - 1 }{ x + 1 } \right ) + 2 f \left ( -\dfrac{ 1 }{ x } \right ) = \dfrac{ x - 1 }{ x + 1 }
令 u = -\dfrac{ 1 }{ x }, \dfrac{ u - 1 }{ u + 1 } = -\dfrac{ x + 1 }{ x - 1 }，代入原式，则有：
f \left ( -\dfrac{ 1 }{ x } \right ) + 2 f \left ( -\dfrac{ x + 1 }{ x - 1 } \right ) = -\dfrac{ 1 }{ x }
令 u = -\dfrac{ x + 1 }{ x - 1 }, \dfrac{ u - 1 }{ u + 1 } = x，代入原式，则有：
f \left ( -\dfrac{ x + 1 }{ x - 1 } \right ) + 2 f ( x ) = -\dfrac{ x + 1 }{ x - 1 }
联立上式可以解得：
\begin{aligned}
-15 f ( x ) & = x - \dfrac{ 2 ( x - 1 ) }{ x + 1 } - \dfrac{ 4 }{ x } + \dfrac{ 8 ( x + 1 ) }{ x - 1 } \\
& = \dfrac{ x^{ 2 } ( x - 1 ) ( x + 1 ) - 2 x ( x - 1 )^{ 2 } - 4 ( x - 1 ) ( x + 1 ) + 8 x ( x + 1 )^{ 2 } }{ x ( x - 1 ) ( x + 1 ) } \\
& = \dfrac{ x^{ 4 } + 6 x^{ 3 } + 15 x^{ 2 } + 6 x + 4 }{ x^{ 3 } - x }
\end{aligned}
故有：
f ( x ) = -\dfrac{ x^{ 4 } + 6 x^{ 3 } + 15 x^{ 2 } + 6 x + 4 }{ 15 x^{ 3 } - 15 x }
by CXY。