题目
设函数 f ( x ) = 3^{ x } + m ( x - 2 ) + n 在 [ 2, 4 ] 上存在零点，求 m^{ 2 } + n^{ 2 } 的最小值。
解析
设零点为 t，即 f ( t ) = 0，则 -3^{ t } = m ( t - 2 ) + n。
由柯西不等式可得：
\left ( -3^{ t } \right )^{ 2 } = ( m ( t - 2 ) + n )^{ 2 } \leq \left ( m^{ 2 } + n^{ 2 } \right ) \left ( ( t - 2 )^{ 2 } + 1^{ 2 } \right )
则有：
m^{ 2 } + n^{ 2 } \geq \dfrac{ 9^{ t } }{ ( t - 2 )^{ 2 } + 1^{ 2 } } = \dfrac{ 9^{ t } }{ t^{ 2 } - 4 t + 5 }
令 g ( t ) = \dfrac{ 9^{ t } }{ t^{ 2 } - 4 t + 5 }，则有：
g' ( t ) = \dfrac{ 2 \cdot 9^{ t } \cdot \left ( t^{ 2 } \ln{ 3 } - t ( 1 + 4 \ln{ 3 } ) + ( 2 + 5 \ln{ 3 } ) \right ) }{ \left ( t^{ 2 } - 4 t + 5 \right )^{ 2 } }
由于 \dfrac{ 2 \cdot 9^{ t } }{ \left ( t^{ 2 } - 4 t + 5 \right )^{ 2 } } 恒为正，故考虑 t^{ 2 } \ln{ 3 } - t ( 1 + 4 \ln{ 3 } ) + ( 2 + 5 \ln{ 3 } ) 的正负，容易发现：
\begin{aligned}
\Delta & = ( 1 + 4 \ln{ 3 } )^{ 2 } - 4 \ln 3 \cdot ( 2 + 5 \ln { 3 } ) \\
& = 16 \ln^{ 2 }{ 3 } + 8 \ln{ 3 } + 1 - 8 \ln{ 3 } - 20 \ln^{ 2 }{ 3 } \\
& = 1 - 4 \ln^{ 2 }{ 3 } \\
& < 0
\end{aligned}
故 t^{ 2 } \ln{ 3 } - t ( 1 + 4 \ln{ 3 } ) + ( 2 + 5 \ln{ 3 } ) 恒为正，故 g' ( t ) 恒为正，故 g ( t ) 单调递增。
故 m^{ 2 } + n^{ 2 } \geq g ( t ) \geq g ( 2 ) = 81。
by HAR。