题目
求下式的值：
\sqrt{ 2^{ 1 } \sqrt{ 2^{ 4 } \sqrt{ 2^{ 9 } \sqrt{ 2^{ 16 } \sqrt{ \ldots \sqrt{ 2^{ n^{ 2 } } \sqrt{ \ldots } } } } } } }
解析
记所求值为 S，则有：
S = 2^{ \frac{ 1^{ 2 } }{ 2^{ 1 } } + \frac{ 2^{ 2 } }{ 2^{ 2 } } + \frac{ 3^{ 2 } }{ 2^{ 3 } } + \frac{ 4^{ 2 } }{ 2^{ 4 } } + \ldots + \frac{ n^{ 2 } }{ 2^{ n } } + \ldots }
记 T = \log_{ 2 }{ S }，则有：
T = \dfrac{ 1^{ 2 } }{ 2^{ 1 } } + \dfrac{ 2^{ 2 } }{ 2^{ 2 } } + \dfrac{ 3^{ 2 } }{ 2^{ 3 } } + \dfrac{ 4^{ 2 } }{ 2^{ 4 } } + \ldots + \dfrac{ n^{ 2 } }{ 2^{ n } } + \ldots
则：
\dfrac{ 1 }{ 2 } T = \dfrac{ 1^{ 2 } }{ 2^{ 2 } } + \dfrac{ 2^{ 2 } }{ 2^{ 3 } } + \dfrac{ 3^{ 2 } }{ 2^{ 4 } } + \dfrac{ 4^{ 2 } }{ 2^{ 5 } } + \ldots + \dfrac{ ( n - 1 )^{ 2 } }{ 2^{ n } } + \ldots
则：
\begin{aligned}
\dfrac{ 1 }{ 2 } T & = T - \dfrac{ 1 }{ 2 } T \\
& = \dfrac{ 1^{ 2 } }{ 2^{ 1 } } + \dfrac{ 2^{ 2 } - 1^{ 2 } }{ 2^{ 2 } } + \dfrac{ 3^{ 2 } - 2^{ 2 } }{ 2^{ 3 } } + \dfrac{ 4^{ 2 } - 3^{ 2 } }{ 2^{ 4 } } + \ldots + \dfrac{ n^{ 2 } - ( n - 1 )^{ 2 } }{ 2^{ n } } + \ldots \\
& = \dfrac{ 1 }{ 2^{ 1 } } + \dfrac{ 3 }{ 2^{ 2 } } + \dfrac{ 5 }{ 2^{ 3 } } + \dfrac{ 7 }{ 2^{ 4 } } + \ldots + \dfrac{ 2 n - 1 }{ 2^{ n } } + \ldots \\
\end{aligned}
则：
\dfrac{ 1 }{ 4 } T = \dfrac{ 1 }{ 2^{ 2 } } + \dfrac{ 3 }{ 2^{ 3 } } + \dfrac{ 5 }{ 2^{ 4 } } + \dfrac{ 7 }{ 2^{ 5 } } + \ldots + \dfrac{ 2 n - 3 }{ 2^{ n } } + \ldots
则：
\begin{aligned}
\dfrac{ 1 }{ 4 } T & = \dfrac{ 1 }{ 2 } T - \dfrac{ 1 }{ 4 } T \\
& = \dfrac{ 1 }{ 2^{ 1 } } + \dfrac{ 3 - 1 }{ 2^{ 2 } } + \dfrac{ 5 - 3 }{ 2^{ 3 } } + \dfrac{ 7 - 5 }{ 2^{ 4 } } + \ldots + \dfrac{ ( 2 n - 1 ) - ( 2 n - 3 ) }{ 2^{ n } } + \ldots \\
& = \dfrac{ 1 }{ 2^{ 1 } } + \dfrac{ 2 }{ 2^{ 2 } } + \dfrac{ 2 }{ 2^{ 3 } } + \dfrac{ 2 }{ 2^{ 4 } } + \ldots + \dfrac{ 2 }{ 2^{ n } } + \ldots \\
& = \dfrac{ 1 }{ 2 } + \dfrac{ 1 }{ 2^{ 1 } } + \dfrac{ 1 }{ 2^{ 2 } } + \dfrac{ 1 }{ 2^{ 3 } } + \ldots + \dfrac{ 1 }{ 2^{ n } } + \ldots \\
& = \dfrac{ 1 }{ 2 } + 1 \\
& = \dfrac{ 3 }{ 2 }
\end{aligned}
即 T = 6，则 S = 2^{ T } = 64。
by CXY。