题目

给定一个 p \in ( 0, 1 )，并按下述规则生成一个 x。

  • 若 x 未被生成，则进行尝试，有 p 的概率成功，若成功则将 x 设为 1。
  • 若 x 未被生成，则进行尝试，有 p 的概率成功，若成功则将 x 设为 3。
  • 若 x 未被生成，则进行尝试，有 p 的概率成功，若成功则将 x 设为 5。
  • 若 x 未被生成，则进行尝试，有 p 的概率成功，若成功则将 x 设为 7。
  • ……

求 x 的期望值。

解析

由期望的定义可知，所求即为 \sum\limits_{ i \in \mathbb{ N_{ + } } }{ p ( 1 - p )^{ i - 1 } ( 2 i - 1 ) }，记该值为 S。

则有：

( 1 - p ) S = \sum\limits_{ i \in \mathbb{ N_{ + } } }{ p ( 1 - p )^{ i } ( 2 i - 1 ) }

则：

p S = p + \sum\limits_{ i \in \mathbb{ N_{ + } } }{ 2 p ( 1 - p )^{ i } }

则：

S = 1 + 2 \sum\limits_{ i \in \mathbb{ N_{ + } } }{ ( 1 - p )^{ i } } = \dfrac{ 2 - p }{ p }

by CXY。