题目
设有一集合 S = \{ ( a, b, c ) \mid a, b, c \in \mathbb{ N_{ + } } 且 a, b, c 为某三角形的三边长 \}。
求：
\sum\limits_{ ( a, b, c ) \in S }{ \dfrac{ 2^{ a } \cdot 3^{ b } }{ 7^{ b } \cdot 11^{ c } } }
解析
易知，a, b, c 是三角形的三边长，当且仅当存在正数 x, y, z 满足 a = \dfrac{ x + y }{ 2 }, b = \dfrac{ y + z }{ 2 }, c = \dfrac{ z + x }{ 2 }。
故有 x = c + a - b, y = a + b - c, z = b + c - a，即 x, y, z 均为正整数且同奇偶。不妨 x = 2 p - 1, y = 2 q - 1, z = 2 r - 1 或 x = 2 p, y = 2 q, z = 2 r（p, q, r \in \mathbb{ N_{ + } }）。
则有：
\begin{aligned}
\sum\limits_{ ( a, b, c ) \in S }{ \dfrac{ 2^{ a } \cdot 3^{ b } }{ 7^{ b } \cdot 11^{ c } } } & = \sum\limits_{ p, q, r \in \mathbb{ N_{ + } } }{ \dfrac{ 2^{ p + q - 1 } \cdot 3^{ q + r - 1 } }{ 7^{ q + r - 1 } \cdot 11^{ r + p - 1 } } } + \sum\limits_{ p, q, r \in \mathbb{ N_{ + } } }{ \dfrac{ 2^{ p + q } \cdot 3^{ q + r } }{ 7^{ q + r } \cdot 11^{ r + p } } } \\
& = \left ( \dfrac{ 2^{ -1 } \cdot 3^{ -1 } }{ 7^{ -1 } \cdot 11^{ -1 } } + 1 \right ) \sum\limits_{ p, q, r \in \mathbb{ N_{ + } } }{ \dfrac{ 2^{ p + q } \cdot 3^{ q + r } }{ 7^{ q + r } \cdot 11^{ r + p } } } \\
& = \dfrac{ 83 }{ 6 } \sum\limits_{ p, q, r \in \mathbb{ N_{ + } } }{ \dfrac{ 2^{ p + q } \cdot 3^{ q + r } }{ 7^{ q + r } \cdot 11^{ r + p } } } \\
& = \dfrac{ 83 }{ 6 } \sum\limits_{ p, q, r \in \mathbb{ N_{ + } } }{ \left ( \dfrac{ 2 }{ 11 } \right )^p \left ( \dfrac{ 6 }{ 7 } \right )^q \left ( \dfrac{ 3 }{ 77 } \right )^r } \\
& = \dfrac{ 83 }{ 6 } \sum\limits_{ p \in \mathbb{ N_{ + } } }{ \left ( \dfrac{ 2 }{ 11 } \right )^p } \sum\limits_{ q \in \mathbb{ N_{ + } } }{ \left ( \dfrac{ 6 }{ 7 } \right )^q } \sum\limits_{ r \in \mathbb{ N_{ + } } }{ \left ( \dfrac{ 3 }{ 77 } \right )^r } \\
& = \dfrac{ 83 }{ 6 } \cdot \dfrac{ 2 }{ 9 } \cdot \dfrac{ 6 }{ 1 } \cdot \dfrac{ 3 }{ 74 } \\
& = \dfrac{ 83 }{ 111 }
\end{aligned}
by FRY。