题目
若 x, y > 0，求下式的最小值：
\dfrac{ \sqrt{ 6 } x + \sqrt{ 7 x^{ 2 } + 5 y^{ 2 } } }{ \sqrt{ 2 } x + \sqrt{ 3 } y }
解析
设 \lambda \in [ -1, 1 ]，则有
\begin{aligned}
\dfrac{ \sqrt{ 6 } x + \sqrt{ 7 x^{ 2 } + 5 y^{ 2 } } }{ \sqrt{ 2 } x + \sqrt{ 3 } y } & = \dfrac{ \sqrt{ 6 } x + \sqrt{ \left ( \left ( \sqrt{ 7 } x \right )^{ 2 } + \left ( \sqrt{ 5 } y \right )^{ 2 } \right ) \left ( \lambda^{ 2 } + \left ( \sqrt{ 1 - \lambda^{ 2 } } \right )^{ 2 } \right ) } }{ \sqrt{ 2 } x + \sqrt{ 3 } y } \\
& \geq \dfrac{ \sqrt{ 6 } x + \sqrt{ 7 } \lambda x + \sqrt{ 5 } \sqrt{ 1 - \lambda^{ 2 } } y }{ \sqrt{ 2 } x + \sqrt{ 3 } y } \\
& = \dfrac{ \left ( \sqrt{ 6 } + \sqrt{ 7 } \lambda \right ) x + \sqrt{ 5 } \sqrt{ 1 - \lambda^{ 2 } } y }{ \sqrt{ 2 } x + \sqrt{ 3 } y }
\end{aligned}
为使该式与 x, y 无关，令：
\dfrac{ \sqrt{ 6 } + \sqrt{ 7 } \lambda }{ \sqrt{ 2 } } = \dfrac{ \sqrt{ 5 } \sqrt{ 1 - \lambda^{ 2 } } }{ \sqrt{ 3 } }
即：
3 \sqrt{ 2 } + \sqrt{ 21 } \lambda = \sqrt{ 10 - 10 \lambda^{ 2 } }
即：
21 \lambda^{ 2 } + 6 \sqrt{ 42 } \lambda + 18 = 10 - 10 \lambda^{ 2 }
即：
31 \lambda^{ 2 } + 6 \sqrt{ 42 } \lambda + 8 = 0
解得 \lambda = \dfrac{ -3 \sqrt{ 42 } + \sqrt{ 130 } }{ 31 }（舍另一根）。
此时可得原式最小值即为 \dfrac{ \sqrt{ 6 } + \sqrt{ 7 } \lambda }{ \sqrt{ 2 } } = \dfrac{ 10 \sqrt{ 3 } + \sqrt{ 455 } }{ 31 }。
by CXY。