题目
给定函数 f ( x ) = \dfrac{ x^{ 2 } }{ 2 } + \dfrac{ 8 }{ x }，若函数 g ( x ) = f ( x ) - a（a \in \mathbb{ R }）有三个零点，为 x_{ 1 }, x_{ 2 }, x_{ 3 } 且 x_{ 1 } < x_{ 2 } < x_{ 3 }，求 \dfrac{ { x_{ 1 } }^{ 3 } + 1 }{ x_{ 1 } } + \dfrac{ { x_{ 2 } }^{ 3 } + 1 }{ x_{ 2 } } 的取值范围。
解析
由于 y = \dfrac{ x^{ 2 } }{ 2 } 和 y = \dfrac{ 8 }{ x } 在 ( -\infty, 0 ) 上单调递减，故 f ( x ) 在 ( -\infty, 0 ) 上单调递减。
对于 x \in ( 0, +\infty ), f ( x ) = \dfrac{ x^{ 2 } }{ 2 } + \dfrac{ 4 }{ x } + \dfrac{ 4 }{ x } \geq 3 \sqrt[ 3 ]{ \dfrac{ x^{ 2 } }{ 2 } \cdot \dfrac{ 4 }{ x } \cdot \dfrac{ 4 }{ x } } = 6，当且仅当 x = 2 时取等。故 f ( x ) 在 ( 0, 2 ) 上单调递减，在 ( 2, +\infty ) 上单调递增。
因为 x_{ 1 }, x_{ 2 } 为 g ( x ) 的零点，所以有 f ( x_{ 1 } ) = f ( x_{ 2 } ) = a，即：
即：
因为有 x_{ 1 } - x_{ 2 } \neq 0，所以 \dfrac{ x_{ 1 } + x_{ 2 } }{ 2 } = \dfrac{ 8 }{ x_{ 1 } x_{ 2 } }，即 x_{ 1 } + x_{ 2 } = \dfrac{ 16 }{ x_{ 1 } x_{ 2 } }。
当 x_{ 2 } = 2 时，可以解得 x_{ 1 } = -4，此时 x_{ 1 } + x_{ 2 } = -2，所以有 x_{ 1 } + x_{ 2 } < -2，故有 -8 < x_{ 1 } x_{ 2 } < 0。
因为有：
令 t = -x_{ 1 } x_{ 2 }，则 t \in ( 0, 8 )，则有：
当且仅当 t = 2 \sqrt[ 3 ]{ 34 } \in ( 0, 8 ) 时取等。
当 t 趋近于 0 时，\dfrac{ 272 }{ t^{ 2 } } + 2 t 趋近于正无穷，故原式无上界。
故原式取值范围为 [ 6 \sqrt[ 3 ]{ 34 }, +\infty )。
by LZW。