题目
设函数 f ( x ) 满足对任意非零实数 x 均有 f \left ( \dfrac{ 1 }{ x } \right ) = a f ( x ) - 2 x - 7，且 f ( 1 ) = 1。
求 F ( x ) = f ( x )（x \in \{ x \mid x \neq 0, f ( x ) \geq 5 x \}）的值域。
解析
因为 f ( 1 ) = 1，所以有 1 = a - 2 - 7，即 a = 10。
联立下式：
可解得 f ( x ) = \dfrac{ 20 x }{ 99 } + \dfrac{ 2 }{ 99 x } + \dfrac{ 7 }{ 9 }。
则 f ( x ) \geq 5 x 即 \dfrac{ -475 x }{ 99 } + \dfrac{ 2 }{ 99 x } + \dfrac{ 7 }{ 9 } \geq 0，即 \dfrac{ -475 x^{ 2 } + 77 x + 2 }{ 99 x } \geq 0，即 x \left ( 475 x^{ 2 } - 77 x - 2 \right ) \leq 0。
因为 475 x^{ 2 } - 77 x - 2 两根为 \dfrac{ 77 \pm 3 \sqrt{ 1081 } }{ 950 }，则：
解得 x \in \left ( -\infty, \dfrac{ 77 - 3 \sqrt{ 1081 } }{ 950 } \right ] \cup \left ( 0, \dfrac{ 77 + 3 \sqrt{ 1081 } }{ 950 } \right ]，即 F ( x ) 定义域为 \left ( -\infty, \dfrac{ 77 - 3 \sqrt{ 1081 } }{ 950 } \right ] \cup \left ( 0, \dfrac{ 77 + 3 \sqrt{ 1081 } }{ 950 } \right ]。
当 x > 0 时，由均值不等式可知 f ( x ) \geq \dfrac{ 4 \sqrt{ 10 } }{ 99 } + \dfrac{ 7 }{ 9 }，当且仅当 x = \dfrac{ \sqrt{ 10 } }{ 10 } 时取等，而此时 \dfrac{ \sqrt{ 10 } }{ 10 } > \dfrac{ 77 + 3 \sqrt{ 1081 } }{ 950 }。故当 x > 0 时 F ( x ) \in \left [ f \left ( \dfrac{ 77 + 3 \sqrt{ 1081 } }{ 950 } \right ), +\infty \right ) = \left [ \dfrac{ 77 + 3 \sqrt{ 1081 } }{ 190 }, +\infty \right )。
而当 x < 0 时，均值不等式可以取到等，故此时 F ( x ) \in \left ( -\infty, \dfrac{ 77 - 4 \sqrt{ 10 } }{ 99 } \right ]。
综上，F ( x ) 的值域为 \left ( -\infty, \dfrac{ 77 - 4 \sqrt{ 10 } }{ 99 } \right ] \cup \left [ \dfrac{ 77 + 3 \sqrt{ 1081 } }{ 190 }, +\infty \right )。
by CXY。