题目
有一枚质地不均匀的四面体骰子，四面分别印有 1, 2, 3, 4，记投掷完后朝下面的数字为该次投掷的结果。
现在连续投掷两次该骰子，掷到的数和为 7 的概率等于和为 6 的概率等于差的绝对值为 2 的概率等于和为 2 的概率的 16 倍（若两次掷到的数分别为 a, b，则题意即 P ( a + b = 7 ) = P ( a + b = 6 ) = P ( | a - b | = 2 ) = 16 P ( a + b = 2 )）。
求一次投掷掷到 1, 2, 3, 4 的概率分别是多少。
解析
设一次投掷掷到 1, 2, 3, 4 的概率分别为 p_{ 1 }, p_{ 2 }, p_{ 3 }, p_{ 4 }，则由题意可以列出：
2 p_{ 3 } p_{ 4 } = 2 p_{ 2 } p_{ 4 } + { p_{ 3 } }^2 = 2 p_{ 1 } p_{ 3 } + 2 p_{ 2 } p_{ 4 } = 16 { p_{ 1 } }^2
且有 p_{ 1 } + p_{ 2 } + p_{ 3 } + p_{ 4 } = 1, p_{ i } \in ( 0, 1 )
解得 p_{ 1 } = \dfrac{ 2 }{ 17 }, p_{ 2 } = \dfrac{ 3 }{ 17 }, p_{ 3 } = \dfrac{ 4 }{ 17 }, p_{ 4 } = \dfrac{ 8 }{ 17 }。
by CXY。