分类：每日一题 - 每日数学

2023-12-14 每日一题 No.010

题目对于正实数 x, y, z，求证： \dfrac{ 2 x + y + z }{ \sqrt{ y + z } } + \dfrac{ x + 2 y + z }{ \sqrt{ z + x } } + \dfrac{ x + y + 2 z }{ \sqrt{ x + y } } \geq

每日一题

题目 \forall x, y \in \mathbb{ R }，求证： 4^{ x } - 4^{ y } \leq \dfrac{ \left ( 2^{ x + 2 } - 2^{ y + 1 } - 2^{ y } \right )^{ 2 } }{ 7 } 解析引理：Aczel 不等式（

每日一题

题目对于实数 x, y 满足 x, y > 1，且有： x + 3^{ y } = 54 求 ( 3 x )^{ y + 1 } 的最大值，并指出此时 x 的值。解析令 z = \log_{ 3 }{ x }，则有： 3^{ y } + 3^{ z } = 54 所求即 3^{ ( y

每日一题

题目对于正数 a, b, c 满足 a^{ 3 } + b^{ 3 } + c^{ 3 } = \dfrac{ 99 }{ 8 }，求证： a^{ 7 } + \dfrac{ 1 }{ 16 } b^{ 7 } + \dfrac{ 16 }{ 81 } c^{ 7 } \geq \dfrac{ 9

每日一题

题目设 a, b, c 均为正实数，且 a + b + c > a b c。求证下式中必有至少两式成立： \begin{cases} \dfrac{ 9 }{ a } + \dfrac{ 6 }{ b } + \dfrac{ 5 }{ c } \geq \dfrac{ 19 }{ 2 } \\

每日一题

题目有 n 个正实数 a_{ 1 }, a_{ 2 }, a_{ 3 }, \ldots, a_{ n }，满足： { a_{ 1 } }^{ 2 } + { a_{ 2 } }^{ 2 } + { a_{ 3 } }^{ 2 } + \ldots + { a_{ n } }^{ 2 } = 1

每日一题

题目对于 x, y \in \mathbb{ R } 且 x, y \neq 0，满足： \begin{cases} ( x^{ 3 } + 2 a ) ( 2^{ x } + 1 ) = 1 - 2^{ x } \\ ( 4 y^{ 3 } - a ) ( 4^{ y } + 1 ) = \df

每日一题

题目给定数列 \{ a_{ n } \}，满足 a_{ 1 } = 1 且 \forall n \in [ 2, +\infty ) \cap \mathbb{ N_{ + } }, a_{ n } = n + \log_{ n }{ a_{ n - 1 } }。给定数列 \{ b_{ n }

每日一题

题目令 f ( x ) = \dfrac{ \mathrm{ e }^{ x } - \mathrm{ e }^{ -x } + b }{ k }，且 f ( x ) 为奇函数，且 f ( 1 ) = 1。求 b, k。求 g ( x ) = \dfrac{ f ( x ) }{ \mathr

每日一题

题目令 f ( x ) = \min \left \{ 2 + \log_{ \frac{ 1 }{ k^{ 2 } } }{ x }, 3 \log_{ k }{ x } \right \}（k \in ( 0, 1 ) \cup ( 1, +\infty )），求 f_{ \max } ( x

每日一题