题目
有 n 个正实数 a_{ 1 }, a_{ 2 }, a_{ 3 }, \ldots, a_{ n }，满足：
{ a_{ 1 } }^{ 2 } + { a_{ 2 } }^{ 2 } + { a_{ 3 } }^{ 2 } + \ldots + { a_{ n } }^{ 2 } = 1
求证：
a_{ 1 } + k a_{ 2 } + k^{ 2 } a_{ 3 } + \ldots + k^{ n - 1 } a_{ n } \leq \sqrt{ \dfrac{ \left ( k^{ n } + 1 \right ) \left ( k^{ n } - 1 \right ) }{ ( k + 1 ) ( k - 1 ) } }
其中 k \in ( 0, 1 ) \cup ( 1, +\infty )。
解析
由柯西不等式，易得：
\left ( a_{ 1 } + k a_{ 2 } + k^{ 2 } a_{ 3 } + \ldots + k^{ n - 1 } a_{ n } \right )^{ 2 } \leq \left ( { a_{ 1 } }^{ 2 } + { a_{ 2 } }^{ 2 } + { a_{ 3 } }^{ 2 } + \ldots + { a_{ n } }^{ 2 } \right ) \left ( 1 + k^{ 2 } + k^{ 4 } + \ldots + k^{ 2 n - 2 } \right )
由题意和等比数列求和公式，易得：
\left ( { a_{ 1 } }^{ 2 } + { a_{ 2 } }^{ 2 } + { a_{ 3 } }^{ 2 } + \ldots + { a_{ n } }^{ 2 } \right ) \left ( 1 + k^{ 2 } + k^{ 4 } + \ldots + k^{ 2 n - 2 } \right ) = \dfrac{ k^{ 2n } - 1 }{ k^{ 2 } - 1 } = \dfrac{ \left ( k^{ n } + 1 \right ) \left ( k^{ n } - 1 \right ) }{ ( k + 1 ) ( k - 1 ) }
即：
\left ( a_{ 1 } + k a_{ 2 } + k^{ 2 } a_{ 3 } + \ldots + k^{ n - 1 } a_{ n } \right )^{ 2 } \leq \dfrac{ \left ( k^{ n } + 1 \right ) \left ( k^{ n } - 1 \right ) }{ ( k + 1 ) ( k - 1 ) }
两边同时开根号，得：
a_{ 1 } + k a_{ 2 } + k^{ 2 } a_{ 3 } + \ldots + k^{ n - 1 } a_{ n } \leq \sqrt{ \dfrac{ \left ( k^{ n } + 1 \right ) \left ( k^{ n } - 1 \right ) }{ ( k + 1 ) ( k - 1 ) } }
得证。
by CXY。